Gegeben sind die Mengen:

%%A=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}%%

%%B=\{x\;\vert\;\mathrm{mit}\;x\in\mathrm{Primzahlen}\}%%

%%C=\{x\;\vert\;\mathrm{mit}\;x\in\mathrm{Zahlen},\;\mathrm{die}\;\mathrm{durch}\;3\;\mathrm{teilbar}\;\mathrm{sind}\}%%

%%D=\{2\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k\in\mathbb{N}\}%%

%%E=\{"1";"2";"3"\}%%

%%F=\{1;3;5;…;99\}%%

%%G=\{2;5;67;23;87;12;35;3;54;12;6\}%%

%%H=\{"1";2;10\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k\in\mathbb{Z}\}%%

%%I=\{6\cdot k\;\vert\;\mathrm{mit}\;k=\{1;2;3;4;5;6;7\}\}%%

Bestimme die Mächtigkeit folgender Mengen.

%%A\cap B\;;\;\;B\cap C\;;\;C\cap D\;;\;D\cap F%%

%%\left|A\cap B\right|=\left|\{2;3;5;7\}\right|=4%%

%%1%% ist keine Primzahl.

%%\left|B\cap C\right|=\left| \{3 \} \right|=1%%

Die %%3%% ist gleichzeitig eine Primzahl und durch %%3%% teilbar. Alle anderen Zahlen, die durch %%3%% teilbar sind, können keine Primzahlen mehr sein, da diese nicht teilbar sind.

%%|C\cap D|=|\{%%Zahlen, die durch %%6%% teilbar sind%%\}|=\infty%%

%%C%% enthält alle Zahlen, die durch %%3%% teilbar sind und %%D%% alle positiven Zahlen, die gerade, also durch %%2%% teilbar sind.

Die Schnittmenge enthält also alle Zahlen, die durch %%2%% und %%3%%, also %%6%% teilbar sind.

Davon gibt es unendlich viele.

%%\left|D\cap F\right|=\left|\varnothing\right|=0%%

%%D%% enthält alle positiven geraden Zahlen, %%F%% alle ungeraden Zahlen bis %%100%%.

Die Schnittmenge ist leer.

%%A\cup F\;;\;A\times F\;;\;C\cap F\;;\;B\cap F%%

%%\left|A\cup F\right|=\left|A\right|+\left|F\right|-\left|A\cap F\right|%% %%=10+50-5=55%%

Bestimmt man die Mächtigkeit einer Vereinigung, so werden die Elemente in der Schnittmenge mehrmals gezählt. Man muss die Mächtigkeit der Schnittmenge(n) deshalb noch subtrahieren.

%%\left|A\times F\right|=\left|A\right|\cdot\left|F\right|=10\cdot50=500%%

Die Anzahl aller Tupel %%\left(\mathrm x,\mathrm y\right)\;\mathrm{mit}\;\mathrm x\in\mathrm A\;\mathrm{und}\;\mathrm y\in\mathrm F%%.

%%\left|C\cap F\right|=\left|\left\{3;9;15;21;…;99\right\}\right|=17%%

Gesucht ist die Anzahl der ungeraden Vielfachen von %%3%% im Bereich %%3%% bis %%99%%.

3 hat dort %%99:3=33%% Vielfache. Jeder zweite ist gerade. Da mit %%3%% und %%99%% die beiden Äußeren ungerade sind, ist die Lösung die aufgerundete Hälfte von %%\frac{33}2%%, also %%17%%.

%%\begin{array}{l}\left|\mathrm B\cap\mathrm F\right|=\\=\left|\left\{3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59;61;67;71;73;79;83;89;97\right\}\right|\\=24\end{array}%%

Hier hilft nur zählen.

%%A\cap G\;;\;A\cup G\;;\;A\setminus G\;;\;G\setminus A%%

%%\left|A\cap G\right|=\left|\left\{2;5;3;6\right\}\right|=4%%

%%\left|A\cup G\right|=\left|A\right|+\left|G\right|-\left|A\cap G\right|%%

%%=10+10-4=16%%

%%G%% enthält ein Element doppelt, deswegen hat %%G%% nur Mächtigkeit %%10%%.

%%\left|A\setminus G\right|=\left|A\right|-\left|A\cap G\right|%% %%=10-4=6%%

%%\left|G\setminus A\right|=\left|G\right|-\left|A\cap G\right|%% %%=10-4=6%%

Man kann erkennen, dass %%\left|A\cup G\right|=\left|A\setminus G\right|+\left|G\setminus A\right|+\left| A\cap G\right|%% gilt, was logisch klingt, denn wenn man zuerst alle Elemente zählt, die nur in %%A%% vorkommen, dann alle, die nur in %%G%% vorkommen und dann noch alle Elemente zählt, die in beiden Mengen vorkommen erhält man alle Elemente.

$$A\cap H\;;\;E\cap H\;;\;A\cap E\;;\;\left(A\cup E\right)\cap H$$

%%\left|A\cap H\right|=|\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}%% %%\cap\left\{"1";2;10\cdot k\;\text{mit}\;k\in\mathbb{Z}\right\}|%% %%=\left|\left\{2;10\right\}\right|=2%%

Das Element %%"1"%% ist nicht gleich mit dem Element %%1%%, weswegen keines der beiden in beiden Mengen enthalten ist.

Für %%k=1%% liegt %%10%% in %%H%% und deswegen auch in der Schnittmenge.

%%\left|E\cap H\right|=\left|\left\{"1"\right\}\right|=1%%

Nur das Element %%"1"%% liegt in beiden Mengen. Deshalb enthält der Schnitt nur ein Element.

%%\left|A\cap E\right|=0%%

%%A%% enthält Zahlen, %%E%% nur die Elemente %%"1"%%, %%"2"%%, %%"3"%%, die keine Zahlen sind. Die Schnittmenge ist leer.

%%\left|\left(A\cup E\right)\cap H\right|=\left|\left(A\cap H\right)\cup\left(E\cap H\right)\right|=\left|A\cap H\right|+\left|E\cap H\right|=3%%

Der Schnitt von %%A%% und %%E%% ist leer, deswegen kann man die Mächtigkeit der Vereinigung auseinanderziehen.

Die beiden einzelnen Werte wurden schon bestimmt.

%%A\cup I\;;\;C\cap I\;;\;G\cap I\;;\;A\cup F\cup G\;;\;H\cap I%%

%%\left|A\cup I\right|=\left|\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;12;18;24;30;36;42\right\}\right|=16%%

Alle Elemente aus %%A%% und die restlichen aus %%I%%.

%%\left|C\cap I\right|=\left|I\right|=7%%

Alle Elemente von %%I%% sind in %%C%% enthalten, also ist die Schnittmenge wieder %%I%%.

%%\left|G\cap I\right|=\left|\left\{6;12\right\}\right|=2%%

%%54%% ist zwar auch durch %%6%% teilbar, aber nicht in %%I%% enthalten.

%%\left|A\cup F\cup G\right|%% %%=\left|A\right|+\left|F\right|+\left|G\right|-\left|A\cap F\right|-\left|A\cap G\right|-\left|F\cap G\right|+\left|A\cap F\cap G\right|%% %%=10+50+10-5-4-6+2=57%%

Zuerst addiert man die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen.

Dann subtrahiert man alle Elemente, die man mehrmals gezählt hat, also die Elemente in den Schnittmengen zweier Mengen.

Dann addiert man wieder die Elemente, die man zu oft subtrahiert hat. Die Elemente in der Schnittmenge aller Mengen wurden nämlich bisher %%3%% mal addiert (%%A%%, %%F%%, %%G%%) und %%3%% mal subtrahiert (%%A\cap F\;,\;A\cap G\;,\;F\cap G%%)

%%\left|H\cap I\right|=\left|\left\{30\right\}\right|=1%%

In %%I%% sind Vielfache von %%6%% enthalten, und zwar %%1\cdot6%%, %%2\cdot6%%, …, %%7\cdot6%%. Die Menge kann also auch als %%I=\{6;12;18;24;30;36;42\}%% geschrieben werden.

%%"1"%% und %%2%% liegen nicht in %%I%%. Dass ein Vielfaches von 6 gleich einem Vielfachen von 10 ist, gilt in %%I%% nur bei %%30%%. Somit haben %%H%% und %%I%% nur das gemeinsame Element %%30%%.