28 Schülerinnen und 26 Schüler wählen eine Sportart. 14 Buben und Mädchen möchten Schwimmen, zwei Fünftel der übrigen Fußball spielen und der Rest laufen. Beim Fußball sind nur 2 Mädchen, dagegen beim Schwimmen nur 2 Buben.

Erstellen Sie eine 6-Felder-Tafel mit absoluten Häufigkeiten.

Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen Fußball spielen möchte?
Zeigen Sie, dass das Geschlecht einen Einfluss auf die Fußball-Leidenschaft hat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand aus der Fußball-Gruppe aus der Gruppe der Mädchen stammt?

Teilaufgabe 1

Definiere Ereignisse

Definiere die Ereignisse, die in der Aufgaben genannt wurden.

  • %%M%%: Person ist männlich
  • %%S%%: Person schwimmt
  • %%F%%: Person spielt Fußball
  • %%L%%: Person geht Laufen

Erstelle Sechsfeld-Tafel

Zeichne eine leere Sechsfeld-Tafel mit Feldern für die Ereignisse %%M \cap S%%, %%M\cap F%%, %%M \cap L%%, %%\overline M \cap S%%, %%\overline M \cap F%%, %%\overline M \cap L%%, %%M%%, %%\overline M%%, %%S%%, %%F%% und %%L%%, sowie ein Feld für die Gesamtanzahl von Ereignissen.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{S} \quad& \quad\mathrm{F} \quad&\quad \mathrm{L}\quad &\ \\ \hline \mathrm{M} & & & & \\ \hline \mathrm{\overline M} & & & & \\ \hline \ & & & & \\ \end{array}$$

Trage die direkt ersichtlichen Informationen aus der Aufgabenstellung ein.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{S} \quad& \quad\mathrm{F} \quad&\quad \mathrm{L}\quad &\ \\ \hline \mathrm{M} & 2 & & & 26\\ \hline \mathrm{\overline M} & & 2 & &28 \\ \hline \ &14 & & & \\ \end{array}$$

Berechne die Gesamtanzahl der Schüler und Schülerinnen und damit die Anzahl der Fußballer und Läufer.

%%26 + 28 = 54%% Gesamtanzahl
%%54 -14 = 40%% Nichtschwimmer %%\;\;\;\frac{2}{5} \cdot 40 = 16%% Fußballer
%%40 -16 = 24%% Läufer

Trage die Werte in die Sechsfeld-Tafel ein.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{S} \quad& \quad\mathrm{F} \quad&\quad \mathrm{L}\quad &\ \\ \hline \mathrm{M} & 2 & & & 26\\ \hline \mathrm{\overline M} & & 2 & &28 \\ \hline \ &14 & 16 & 24 & 54\\ \end{array}$$

Ergänze die fehlenden Felder, indem du von der Anzahl der Ereignisse %%S%% die Anzahl der Ereignisse %%M \cap S%% abziehst und von der Anzahl der Ereignisse %%F%% die Anzahl der Ereignisse %%\overline M \cap F%% abziehst.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{S} \quad& \quad\mathrm{F} \quad&\quad \mathrm{L}\quad &\ \\ \hline \mathrm{M} & 2 & 14 & & 26\\ \hline \mathrm{\overline M} & 12 & 2 & &28 \\ \hline \ &14 & 16 & 24 & 54\\ \end{array}$$

Ergänze nun die beiden letzten fehlenden Felder.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{S} \quad& \quad\mathrm{F} \quad&\quad \mathrm{L}\quad &\ \\ \hline \mathrm{M} & 2 & 14 & 10 & 26\\ \hline \mathrm{\overline M} & 12 & 2 & 14 &28 \\ \hline \ &14 & 16 & 24 & 54\\ \end{array}$$

Teilaufgabe 2

Bestimme bedingte Wahrscheinlichkeit

Formuliere die Frage um:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Fußball spielen möchte, wenn bekannt ist, dass diese Person ein Mädchen ist.

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline M} (F)%%. Schreibe dazu zunächst die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf.

$$P_{\overline M} (F) = \frac{P(\overline M \cap F)}{P(\overline M)}$$

Lese aus der Sechsfeld-Tafel die Wahrscheinlichkeiten %%P(\overline M \cap F)%% und %%P(\overline M)%% ab.

$$P(\overline M \cap F) = \frac{2}{54}$$ $$P(\overline M) = \frac{28}{54}$$

Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline M} (F)%%.

$$P_{\overline M} (F) = \frac{P(\overline M \cap F)}{P(\overline M)}=\frac{\frac{2}{54}}{\frac{28}{54}} = \frac{2}{28}=0,07$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen Fußball spielt ist 7,14 %. Offenbar ist die Fußballleidenschaft stark geschlechtsabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge oder Mädchen Fußball spielt ist vergleichsweise 29,6 %.

Teilaufgabe 3

Bestimme bedingte Wahrscheinlichkeit

Formuliere die Frage um:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person ein Mädchen ist, wenn bekannt ist, dass diese Person Fußball spielt.

Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{F} (\overline M)%%. Schreibe dazu zunächst die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit auf.

$$P_{F} (\overline M) = \frac{P(\overline M \cap F)}{P(F)}$$

Lese aus der Sechsfeld-Tafel die Wahrscheinlichkeiten %%P(\overline M \cap F)%% und %%P(F)%% ab.

$$P(\overline M \cap F) = \frac{2}{54}$$ $$P(F) = \frac{16}{54}$$

Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit %%P_{F} (\overline M)%%.

$$P_{F} (\overline M) = \frac{P(\overline M \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{54}}{\frac{16}{54}} = \frac{2}{16}=0,125$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einer Person, die Fußball spielt, um ein Mädchen handelt, ist 12,5 %.