Die (bedingte) Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gibt an, wie wahrscheinlich A ist, falls sicher ist, dass B schon eingetreten ist.

Man schreibt %%{\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right)%% oder %%\mathrm P\left(\mathrm A\left|\mathrm B\right.\right)%% für die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Einführendes Beispiel

Man betrachtet die beiden Ereignisse

%%A =%% "es regnet"

Regen

%%B =%% "der Boden wird nass"

Nasser Boden

Angenommen, es regnet mit einer Wahrscheinlichkeit von 25%, also %%{\mathrm P\left(\mathrm A\right) }= 0,25%%.
Was kann man nun über die bedingten Wahrscheinlichkeiten %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm B\right), {\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right), {\mathrm P}_\overline{\mathrm {A}}\left(\mathrm B\right), {\mathrm P}_\overline{\mathrm B}\left(\mathrm A\right)%% aussagen?

  1. %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm B\right)%% beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

    • mit der der Boden nass ist,
    • unter der Bedingung, dass es bereits regnet (d.h. wenn Ereignis A eingetreten ist).

    Da bei Regen der Boden natürlich immer nass wird, ist die Wahrscheinlichkeit diesen Ereignisses gleich eins. In Formeln %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm B\right) = 1%%.

  2. %%{\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right)%% beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

    • mit der es regnet,
    • unter der Bedingung, dass der Boden nass wird.

    Das heißt man weiß, dass der Boden nass geworden ist und möchte nun wissen, wie das die Wahrscheinlichkeit eines Regenschauers beeinträchtigt. Nun wird natürlich nicht nur bei Regen der Boden nass (vielleicht hatten da ein paar Schüler eine Wasserschlacht ;-)), also beeinflusst Ereignis B die Regenwahrscheinlichkeit nicht %%\rightarrow {\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right) = 0,25%%.

  3. %%{\mathrm P}_\overline{\mathrm {A}}\left(\mathrm B\right)%% beschreibt die Wahrscheinlichkeit,

    • mit der der Boden nass wird,
    • unter der Bedingung, dass es sicher nicht regnet.

    Hier kann man wenig konkrete Aussagen treffen.

  4. %%{\mathrm P}_\overline{\mathrm B}\left(\mathrm A\right)%% beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der es regnet, wenn der Boden nicht nass wird. Dieses Ereignis ist natürlich nicht möglich %%\rightarrow {\mathrm P}_\overline{\mathrm B}\left(\mathrm A\right) = 0%%

Was kann man doch über %%{\mathrm P}_\overline{\mathrm {A}}\left(\mathrm B\right)%% sagen?

Nach Regen dauert es noch eine Weile bis der Boden wieder Trocken ist. Damit kann der Boden nass sein, ohne, dass es gerade regnet. Man kann also sagen, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als null ist.

Da der Boden normalerweise trocken ist, wenn es gerade nicht regnet, ist %%{\mathrm P}_\overline{\mathrm {A}}\left(\mathrm B\right)%% aber auch sicherlich kleiner als eins.

Häufige Fälle

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind immer voneinander zu unterscheiden:

%%{\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right)%%

bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B

d. h. man weiß bereits sicher, dass B zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich A weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von A.

%%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm B\right)%%

bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A

d. h. man weiß bereits sicher, dass A zutrifft bzw. eingetreten ist, aber bezüglich B weiß man es nicht und fragt nach der Wahrscheinlichkeit von B.

%%\mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)%%

bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und zugleich B"

d. h. man hat keine zusätzlichen Informationen und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, mit der A und B gemeinsam eintreten.

Sei A ein beliebiges Ereignis. Wie groß ist %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm A\right)%% und %%{\mathrm P}_ \mathrm A\left(\overline{\mathrm A}\right)%%?
  • %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm A\right)%% beschreibt die Wahrscheinlichleit, dass das Ereignis A eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis A bereits eingetreten ist. Wennn dir das zu kompliziert ist, überlegs dir nochmal am Regenbeispiel von oben. Sei Ereignis A "es regnet". Dann suchen wir also die Wahrscheinlichkeit mit der es regnet, wenn es regnet. Dies ist offentsichtlich immer richtig. %%\rightarrow%% %%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm A\right)= 1%%
  • %%{\mathrm P}_ \mathrm A\left(\overline{\mathrm A}\right)%% beschreibt dann also die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A nicht eintritt unter der Bedingung, dass es bereits eingetreten ist. Oder am Regenbeispiel: die Wahrscheinlichkeit mit der es nicht regnet, wenn es regnet. Da dies nicht möglich ist, ist %%{\mathrm P}_ \mathrm A\left(\overline{\mathrm A}\right)= 0%%

Du kannst diese Ergebnisse auch noch mit der weiter unten stehenden Formel überprüfen.

Schreib- und Sprechweisen

Man schreibt %%{\mathrm P}_\mathrm B\left(\mathrm A\right)%% oder %%\mathrm P\left(\mathrm A\left|\mathrm B\right.\right)%% für die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.

Alternative Sprechweisen:

  • "A unter der Bedingung B"

  • "A, wenn B"

  • "Wahrscheinlichkeit von A, wenn B eingetreten ist"

  • "A gegeben B"

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4712_QQXT6Dbvht.xml

Definition

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist wie folgt definiert:

%%\mathrm{P(A\vert B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}}%%

Die bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm

Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann ganz einfach am Baumdiagramm dargestellt werden:

Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Selbstverständlich kann man auch eine Vierfeldertafel erstellen, um alle Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, die man benötigt um %%\mathrm{P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}%% auszurechnen.
%%\rightarrow%%Beispielaufgabe mit ausführlicher Musterlösung

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Weiß man, dass zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, so vereinfacht sich %%\mathrm{{P(A\cap B)}}%% zu %%\mathrm{ P(A)\cdot P(B)}%%.
In diesem Fall ergibt sich für %%\mathrm{P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)} = P(A)}%%.
Im Umkerschluss: Unterscheiden sich %%\mathrm{P(A\vert B)}%% und %%\mathrm{ P(A)}%% , so folgt, dass A und B stochastisch abhängig sind.

Wichtige Sätze

Aus der Definition und mithilfe der Pfadregeln lassen sich wichtige Sätze für die bedingte Wahrscheinlichkeit ableiten:

Multiplikationssatz

%%\mathrm{P(A\cap B)=P(A\vert B)\cdot P(B)}%%

Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

%%\mathrm{P(B)=P(A)\cdot P(B\vert A)\;+\;P(\overline A)\cdot P(B\vert\overline A)}%%

mit der Verallgemeinerung: %%\mathrm{P(B)=\sum_iP(A_i)\cdot P(B\vert A_i)}%%

Satz von Bayes

%%\mathrm{P(A\vert B)=\dfrac{P(B\vert A)\cdot P(A)}{P(B)}}%%

Weiterer Satz

%%\mathrm{P(A\left|B\right.)+P\left(\overline A|B\right)=1}%%

Beispiel:

Angenommen, ein bestimmtes Merkmal A trete bei 2% aller neugeborenen Mädchen und bei 8% aller neugeborenen Jungen auf.

Folgende Ereignisse sollen betrachtet werden:

A: "Das Kind hat das Merkmal A."

J: "Das Kind ist ein Junge."

Es soll davon ausgegangen werden, dass es gleich viel Jungen- wie Mädchengeburten gibt.

Dann gilt:

$${\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm A\right)=8\%$$

Denn laut Angabe tritt Merkmal A ja bei 8% aller neugeborenen Jungen auf.

%%\mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm J\right)=4\%%%

Denn da nur 50% der neugeborenen Kinder Jungen sind und unter den Jungen nur 8% das Merkmal A haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind ein Junge ist, der das Merkmal A hat, gleich 4%.

%%{\mathrm P}_\mathrm A\left(\mathrm J\right)=80\%%%

Denn das Merkmal betrifft Jungen 4 mal so oft wie Mädchen; wenn man also weiß, dass ein bestimmtes Kind das Merkmal A hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit 80%, dass das Kind ein Junge ist.

Anmerkung:

Wenn sich - wie in obigem Beispiel - die Wahrscheinlichkeiten %%{\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm A\right)%% (hier 8%) und %%{\mathrm P}_\overline{\mathrm J}\left(\mathrm A\right)%% (hier 2%) unterscheiden, sind die Ereignisse A und J voneinander stochastisch abhängig.

Eine weitere Beispielaufgabe
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Sophie_lg 2017-05-02 18:31:57
Das Beispiel mit dem Regen und dem nassen Boden macht das Thema komplizierter als es eigentlich ist. In der Schule haben wir ein Beispiel durchgenommen mit Pralinen. Man zieht eine praline, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Vollmilchpraline und zugleiche eine mit Marzipan gefüllte Praline ist.

Nish 2017-05-04 11:27:37
Vielen Dank für dein Feedback. Mein erster Eindruck ist auch, dass ich dieses Beispiel aus dem Artikel nehmen und durch ein einfacheres Beispiel ersetzen würde.

Gibt es andere Meinungen?

Ich schaue mir den Artikel, aber noch genauer an, wenn ich mehr Zeit habe. Hättest du Lust, dein Pralinen-Beispiel im Artikel einfach an gleicher Stelle auszuführen? Aber nur, wenn du Zeit und Lust hast ;) Du kannst dann gerne, selber das Einführende Beispiel rausnehmen. Man kann ja auf die alte Version zurückgreifen und so sich das einführende Beispiel wieder holen.

LG,
Nish

PS: Das einführende Beispiel kann man dann in einen Kurs packen, der hoffentlich irgendwann noch entsteht.
wolfgang 2017-05-15 10:39:56
Ich glaube auch, dass das Beispiel zu lange (und vllt auch zu schwierig) ist für ein Einleitung. Alternativ könnte man das auch in einen Spoiler packen oder wie Nish schon angesprochen hat, in einen Kurs verlagern.
LG Wolfgang
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Zu article Bedingte Wahrscheinlichkeit: Fehler in Zuerst ein einführendes Beispiel
Renate 2014-10-29 18:06:58
Im Abschnitt "Zuerst ein einführendes Beispiel" ist, denke ich, ein massiver Fehler:
Wenn man davon ausgeht, dass der Boden nur bei Regen nass wird (wie hier ja steht), ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet, wenn der Boden nass wird, meiner Meinung nach 1 und nicht 0,25.
Denn dass der Boden NUR bei Regen nass wird, heißt ja, dass es MIT SICHERHEIT regnen muss, wenn der Boden nass wird.
B beeinflusst die Regenwahrscheinlichkeit somit sehr wohl.
Renate 2016-10-18 19:06:22
Mittlerweile ist das Beispiel dahingehend abgeändert worden, dass der Boden NICHT NUR bei Regen nass wird ;).
Dennoch bin ich mit Aussage in 2, dass die Wahrscheinlichkeit P(A|B) von A unter der Bedingung B gleich 0,25 (=P(A) ) ist, immer noch nicht einverstanden.

Das hieße doch, dass A und B voneinander stochastisch unabhängig sind, und dann müsste doch auch P(B|A)=P(B) sein, oder?

P(B|A) ist aber gleich 1 (siehe unter 1.). Die Aussage bei 2 würde also bedeuten, dass auch P(B) = 1 ist, d. h. der Boden ist immer nass???

Sophie_lg 2017-05-02 18:31:11
Das Beispiel mit dem Regen und dem nassen Boden macht das Thema komplizierter als es eigentlich ist. In der Schule haben wir ein Beispiel durchgenommen mit Pralinen. Man zieht eine praline, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Vollmilchpraline und zugleiche eine mit Marzipan gefüllte Praline ist.
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Zu article Bedingte Wahrscheinlichkeit: Artikel-Charakter versus Kurs-Charakter
Renate 2014-09-01 17:47:07
Der Abschnitt "Zuerst ein einführendes Beispiel" würde seinem Charakter und seiner Sprache nach besser in einem Serlo-Kurs passen als in einen Serlo-Artikel.
Ich hatte das zumindest bislang so verstanden:
Artikel sollen knapp, prägnant und dennoch inhaltlich vollständig den Stoff wiedergeben und dienen mehr dem Nachschlagen und Zusammenfassen des Stoffes als dem Neu-Erlernen. Daher beginnen sie zum Beispiel auch mit einer Zusammenfassung und nicht mit einer Einführung; sie haben keine „Spannungsbogen“ oder kursartigen Aufbau.
Für's Neu-Erlernen, schrittweise Einüben usw. gedacht sind hingegen die Serlo-Kurse oder -Lernmodule.
Ein Satz wie "Fangen wir an:" hat meinem Empfinden nach daher zum Beispiel in einem Serlo-Artikel keinen Platz.
(Schon die Verwendung des "wir" entspricht übrigens nicht den Richtlinien, nach denen in den Artikeln das "man" verwendet werden soll.)
Amadeus 2014-11-27 14:52:49
Ich habe den Artikel in "Man"-Form gebracht und andere kleine Formulierungen ausgebessert.
Bezüglich der Länge ist der Artikel auf jeden Fall noch ausbaufähig.
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