Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses nicht beeinflusst.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt:

%%P(A|B)= P(A)%% oder %%P(B|A)=P(B)%%,
wobei %%P(A|B)%% die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B ist und %%P(B|A)%% die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ist.

Diese Aussage lässt sich umformen zu: %%P( A \cap B) =P(A) \cdot P(B)%%

Stochastische Abhängigkeit

Sind zwei Ereignisse nicht stochastisch unabhängig, sind sie stochastisch abhängig.
Zwei Ereignisse A und B heißen demnach stochastisch abhängig, wenn gilt:

$$P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)$$

Folgerungen

Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, dann gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit:

$$P(\left.A\right|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$$

und genauso:  %%P(B|A)=P(B)%%

Unterschied zwischen kausaler und stochastischer Unabhängigkeit

Stochastische Abhängigkeit bedeutet nicht das gleiche wie kausale Abhängigkeit, also die Art von Zusammenhang, die man aus dem Alltag kennt.

Zwei Ereignisse können wohl stochastisch abhängig sein, indem sie die oben genannte Definition erfüllen, müssen aber dann noch nicht zueinander in Ursache und Wirkung voneinander abhängen.

Bei dem Ausdruck stochastische Abhängigkeit handelt es sich um einen mathematischen Fachbegriff. Wenn klar ist, dass nicht der umgangssprachliche Begriff unabhängig gemeint ist, lässt man häufig auch den Zusatz weg.

Beispiele

Beispiel 1: Stochastische Abhängigkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl größer gleich 2".
%%A=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A)=\frac36=\frac12%%
%%B=\left\{2;3;4;5;6\right\}%% mit %%P(B)=\frac{5}{6}%%
%%A\cap B=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A\cap B)=\frac36=\frac12%%
Dann ist: %%P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac56=\frac5{12}\neq\frac12=P(A\cap B)%%
Also sind A und B stochastisch abhängig.

Beispiel 2: Stochastische Unabhängigkeit

Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl durch 3 teilbar". %%A=\left\{2;4;6\right\}%% mit %%P(A)=\frac36=\frac12%%
%%B=\left\{3;6\right\}%% mit %%P(B)=\frac26=\frac13%%
%%A\cap B=\left\{6\right\}%% mit %%P(A\cap B)=\frac16%%

Dann ist: %%P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac13=\frac16=P(A\cap B)%% also sind A und B stochastisch unabhängig.

Hier findest du weitere Aufgaben zum Üben!

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Zu article Unabhängigkeit von Ereignissen: Unabhängigkeitsbegriff plausibler bei Erklärung über bedingte Wahrscheinlichkeit
Renate 2014-09-05 19:18:20
@Katha26: Ich finde es didaktisch nicht so gut, dass du die "Erklärung" (um an dieser Stelle erst einmal das Wort "Definition" zu vermeiden) des Begriffs der Unabhängigkeit über die bedingte Wahrscheinlichkeit herausgenommen hast und das Faktum nun nur noch als Folgerung der Produktformel-Definition bringst.

Meiner Meinung nach versteht man als Schüler bei der Produktformel überhaupt nicht anschaulich, was die Gültigkeit der Produktformel mit Unabhängigkeit (im anschaulichen Sinn) zu tun haben soll.

Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man das aber eigentlich schon plausibel machen, und darauf zielt ja auch der einleitende Satz des Artikels ab:
"Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignissess nicht beeinflusst."

(Selbstverständlich muss natürlich die Produktformel ebenfalls im Artikel stehen - schon allein für den Fall, dass Schüler die Unabhängigkeit von Ereignissen lernen müssen, die die bedingte Wahrscheinlichkeit gar nicht haben, wie es in Bayern im G9 im Mathematik-Grundkurs meines Wissens war.)
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Zu article Unabhängigkeit von Ereignissen: Allgemein Unabhängigkeit
Amadeus 2014-09-05 08:05:32
Vielleicht sollte man den Artikel allgemein in Unabhängigkeit umbenennen und die Unabhängigkeit von Zufallsgrößen mit rein nehmen.
Er würde sich dadurch kaum verlängern und die Themen sind eng miteinander verwandt.
philipp_gadow 2014-09-05 08:35:35
Mit dem Namen Unabhängigkeit verliert der Titel aber an Aussagekraft. Was ist denn der Unterschied für Schulmathematik von Zufallsgrößen zu Ereignissen?

Der Wikipedia-Artikel hat den Namen "Stochastische Unabhängigkeit", vielleicht wäre das eine Idee? Ich finde den aktuellen Namen aber schülerfreundlicher.
Renate 2014-09-05 18:51:38
Der Artikel wurde seinerzeit wahrscheinlich mit "Unabhängigkeit von Ereignissen" benannt, um Verwechslungen mit der (ebenfalls schulrelevanten) Unabhängigkeit von Vektoren auszuschließen.
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