Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird immer eine Karte gezogen und dann wieder zurückgesteckt. Wie oft muss dies wiederholt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens zwei Pikkarten zu ziehen?

Bezeichne mit %%X%% die Anzahl der gezogenen Pikkarten.

Bei jedem Ziehen ist der Anteil der Pikkarten an allen Karten %%\frac{13}{52}=\frac14%% .

geg.: %%p=\frac14%%

Stelle die Formel für die Binomialverteilung von %%\mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right)%% auf. %%\mathrm P\left(\mathrm X=\mathrm k\right)%% ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n gezogenen Karten k Pikkarten sind.

%%P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot\left(\frac14\right)^k\cdot\left(\frac34\right)^{n-k}%%

%%\mathrm P\left(\mathrm X\geq2\right)=1-\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)%%

Setze die Wahrscheinlichkeit größer gleich 60%

%%\mathrm P\left(\mathrm X\geq2\right)=1-\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\geq0.6%%

%%\mid+\mathrm{P( X\leq1)-0,6}%%

Forme die Gleichung um.

%%\mathrm P\left(\mathrm X\leq1\right)\leq0,4%%

Schaue in dem Tafelwerk der Stochastik nach ( %%\rightarrow\mathrm k=1;\mathrm p=\frac14%%) für welches möglichst kleine n die Ungleichung noch erfüllt ist.

%%\mathrm{für \;n=7:P(X \leq 1) =0,44495}%%

%%\mathrm{für \;n=8:P(X \leq 1) =0,36708}%%

Damit muss 8 mal gezogen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens 2 Pikkarten zu ziehen.

Alternative Lösung

Falls man zur Lösung CAS zur Verfügung hat, sind auch 2 etwas andere Wege möglich. Anbei als screenshot die Lösung mit TI-nspire CAS.

Binomialverteilung Lösungsweg