Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert der Statistik. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

Formel

Um das geometrische Mittel von %%n%% Zahlen %%{\mathrm x}_1,{\mathrm x}_2,…,{\mathrm x}_\mathrm n%% zu ermitteln, muss man deren Produkt bilden und von diesem die %%n%%-te Wurzel ziehen.

Damit ergibt sich die Formel:

%%\mathrm G({\mathrm x}_1,{\mathrm x}_2,…,{\mathrm x}_\mathrm n)={\overline{\mathrm x}}_\mathrm{geom}={\sqrt[\mathrm n]{{\mathrm x}_1\cdot{\mathrm x}_2\cdot\cdot\cdot\mathrm x}}_\mathrm n=\sqrt[\mathrm n]{{\textstyle\prod_{\mathrm i=1}^\mathrm n}{\mathrm x}_\mathrm i}%% .

Wichtig

  • Keiner der Werte darf negativ sein. Sonst steht möglicherweise etwas negatives unter der Wurzel stehen.

  • Keiner der Werte darf 0 sein. Sonst wäre das Ergebnis auch 0.

Geometrische Interpretation

Berechnet man das geometrische Mittel zweier Zahlen %%a%% und %%b%% %%\mathrm G(a,\;b)={\overline{\mathrm x}}_\mathrm{geom}=\sqrt[2]{\mathrm a\cdot\mathrm b}=\sqrt{a\cdot b}%%, so kann man das geometrische Mittel als die Seitenlänge %%c%% eines Quadrats interpretieren, welches den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck hat, das durch die Seiten %%a%% und %%b%% aufgespannt wird.

legacy geogebra formula

Beweis

Der Flächeninhalt des roten Rechtecks ist

%%A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b%%

und der Flächeninhalt des blauen Quadrats ist

%%A_{\text{Quadrat}}=c\cdot c=\sqrt{a\cdot b}\cdot\sqrt{a\cdot b}=\left(\sqrt{a\cdot b}\right)^2=a\cdot b%%

Offenbar haben die beiden Vierecke den selben Flächeninhalt.

 

 

Anwendung

Gerade für die Finanzmathematik ist das geometrische Mittel wichtig, da man mit ihm durchschnittliche Wachstumsfaktoren, wie zum Beispiel das BIP-Wachstum oder das durchschnittliche Wachstum der Unternehmensgewinne, berechnet werden können.

Beispiel 1

Beispiel 2 mit Herleitung

 

 

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