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Mächtigkeit

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Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge MM entweder M|M| oder #M\#M.

Grundlagen zur Mächtigkeit

Gleichmächtig

Die Menge A={2,3,5,7}A=\{2{,}3,5{,}7\} aller einstelligen Primzahlen besitzt 44 Elemente. Es ist damit:

Die Menge B={2,4,6,8}B=\left\{2{,}4,6{,}8\right\} besitzt ebenso B=4\left|B\right|=4 Elemente. Wenn zwei Mengen, so wie AA und BB gleich viele Elemente besitzen, also A=B\left|A\right|=\left|B\right| gilt, nennt man die Mengen gleichmächtig.

Unendlich große Mengen

Falls MM unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich (\infty). So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen N\mathbb N unendlich und wir schreiben N=|\mathbb N| = \infty.

Beispiele

  • A={Baum,  Busch,  Blatt}=3|A|=\left|\left\{\mathrm{Baum},\;\mathrm{Busch},\;\mathrm{Blatt}\right\}\right|=3

  • B={1,2,100,30}=4|B|=\left|\left\{1{,}2,100{,}30\right\}\right|=4

  • C={1,1,1,1,2}=2|C|=\left|\left\{1{,}1,1{,}1,2\right\}\right|=2, da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!

  • D=AB={Baum,Busch,Blatt,1,2,100,30}=3+40=7|D|=|A\cup B|=|\{\mathrm{Baum}, \mathrm{Busch}, \mathrm{Blatt}, 1{,}2,100{,}30\}|= 3+4-0=7

E ist die Menge der 16 Bundesländer der Bundesrepublik Deutschland. Damit ist |E|=16.

E ist die Menge der 16 Bundesländer der Bundesrepublik Deutschland. Damit ist |E|=16.

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Mächtigkeit in der Wahrscheinlichkeit

Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in die Menge „Ergebnisraum“ Ω\Omega zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums Ω|\Omega| ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment ist gegeben durch die Mächtigkeiten der Ereignis- und Ergebnismenge.

Das Ereignis A={1,5}A=\left\{1{,}5\right\} beim Würfeln mit einem Würfel besitzt die Wahrscheinlichkeit:

Rechenregeln

  • MN=M+NMN\left|M\cup N\right|=\left|M\right|+\left|N\right|-|M\cap N|. Vergleiche dazu: Mengenlehre.

  • M×N=MN\left|M \times N\right|=\left|M\right|\cdot\left|N\right|. Vergleiche dazu: kartesisches Produkt.

Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge AA, ist: P(A)=2A\mathcal P(A)=2^{\left|A\right|}. Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.

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Quellen

    • https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Karte_Deutsche_Bundesl%C3%A4nder_(Bezeichner).svg

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