Binomialkoeffizient

Formel

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.

Sprechweisen

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. $\binom{n}{k}$ nennt man:

• „n über k“

• „k aus n“ (intuitiver, da $\binom{n}{k}$ berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt $k$ Kugeln aus einer Urne mit $n$ Kugeln zu ziehen)

Berechnung

Ein einfacher Weg, einen Binomialkoeffizienten zu berechnen, besteht in folgender Herangehensweise:

• Notiere die Fakultät von k unter dem Bruchstrich.

• Notiere das Produkt der gleichen Anzahl von absteigenden Zahlen im Zähler.

Beispiel: $\displaystyle\binom{8}{3}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}=56$

Begründung an einem Beispiel:

$\displaystyle\binom{n}{3}=\frac{n!}{3!\cdot\left(n-3\right)!}=\frac{n \cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot ... \cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }$

Man erkennt ganz gut, dass sich die Faktoren $(n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ sowohl im Zähler, als auch im Nenner finden und sie sich wegkürzen lassen.

Visualisierung

Hier gibt es eine interaktive Visualisierung, die anschaulich zeigt, wie sich die Kombinationen "k aus n" ergeben.

Eigenschaften

• Der Binomialkoeffizient ist immer eine ganze Zahl größer oder gleich null.

• Falls $k>n$ folgt: $\displaystyle\binom{n}{k}=0$. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)

• Symmetrie: $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$

• Additionstheorem: $\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$

Sonderfälle

Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.