Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion mit der man Aufgaben aus der Kombinatorik lösen kann.

Ein bekanntes Beispiel ist das Lotto, das man auch "6 aus 49" nennt. Und das nennt man nicht ohne Grund so. Man zieht nämlich 6 unterscheidbare Kugeln aus einer Urne mit 49 Kugeln, ohne auf die Reihenfolge zu achten.

Formel

%%\displaystyle\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}%%

In der Kombinatorik wird diese Formel sehr oft verwendet, weshalb man diese Kurzschreibweise eingeführt hat.

Sprechweisen

Es gibt zwei Sprechweisen, die etwa gleich gebräuchlich sind, deshalb sollte man beide kennen. %%\binom{n}{k}%% nennt man:

  • „n über k“
  • „k aus n“ (intuitiver, da %%\binom{n}{k}%% berechnet, wieviele Möglichkeiten es gibt %%k%% Kugeln aus einer Urne mit %%n%% Kugeln zu ziehen)

Eigenschaften

  • Der Binomialkoeffizient ist immer größer oder gleich Null.

  • Falls %%k>n%% folgt: %%\displaystyle\binom{n}{k}=0%%. (Man kann nicht aus 49 Kugeln 50 ziehen.)

  • Symmetrie: %%\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}%%

Beweis

%%\displaystyle\begin{array}{ccl} \binom{n}{n-k}&=&\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot\left(n-\left(n-k\right)\right)!}\\ &=&\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}\\ &=&\frac{n!}{k!\cdot \left(n-k\right)!}\\ &=&\binom{n}{k} \end{array} %%

  • Additionstheorem: %%\displaystyle\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}%%
Beweis

Ersetze %%n%% duch %%n-1%% und %%k%% durch %%k-1%%:

%%\begin{array}{ccl} \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&=&\frac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k-1\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot k}{k\cdot\left(k-1\right)!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)\cdot\left(n-k-1\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot k}{k!\cdot\left(n-k\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{\left(n-1\right)!\cdot\left(k+n-k\right)}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{n\cdot\left(n-1\right)!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\\ &=&\binom{n}{k} \end{array} %%

Sonderfälle

Pascalsches Dreieck

Die Werte der Binomialkoeffizienten kann man direkt am Pascalschen Dreieck ablesen.

Kommentieren Kommentare

Zu article Binomialkoeffizient:
mathepro88 2018-03-23 10:22:03
Toni hätte an dieser Stelle etwas detaillierter auf die Materie eingehen können. finde es zu untiefgründig und schwammig. Dies machen andere Autoren auf gewissen anderen Websites deutlich besser. Ich als 13-14 Punkte-Kandidat in meinem Mathe+-Kurs, könnte dies wesentlich besser erklären. Schreibt mir dazu gerne eine Mail unter: Mathegenius88@gmx.de
Kuss geht raus
Nish 2018-03-25 20:18:32
Vielen Dank für deinen Hinweis und dein Angebot! Ändert vllt. meine Antwort auf folgenden Kommentar (http://de.serlo.org/1897), deine Meinung? Ansonsten, was fehlt dir hier bzw. was würdest du noch genauer erklären?

Wenn du mitarbeiten möchtest, sehr gerne :) Ich unterstütze dich auch auf irgendeiner Art (E-Mail, Profil auf Serlo, Kommentarfunktion auf Serlo oder gerne auch über unseren erst neu-eingerichteten Community-Chat Telegram [mehr Infos hierzu unter https://de.serlo.org/community im Abschnitt Community-Chat]

LG,
Nish
Nico_Weio 2018-12-06 18:44:28
@Nish Vielleicht solltet ihr mal eine FAQ-Seite für so etwas einrichten, das würde solche eher umständlichen Verlinkungen gut ersetzen, denke ich.
Kulla 2018-12-06 19:27:33
@Nico_Weio Du meinst eine FAQ wie man bei uns Autor werden kann? Hier eignet sich https://de.serlo.org/community und die Seite https://de.serlo.org/88059 Welche anderen Infos würdest du dir noch wünschen?
Nico_Weio 2018-12-08 13:02:01
@Kulla Ich meinte vor allem eine Seite, wo auf den Unterschied zwischen Artikel und Kurs etc. eingegangen wird. Oder eben eine durchsuchbare FAQ, wo "alles" drinsteht.
Ich bin noch sehr neu bei Serlo, von daher habe ich auf der einen Seite keine Ahnung, wo sich vielleicht solche Hilfeseiten verstecken, andererseits sollte es ja für Nutzer wie mich möglichst leicht sein, auf Serlo mitzuwirken, denke ich. Vielleicht tut es auch ein klarerer als Hilfeseite zu erkennender Link zu den Seiten, die es schon gibt.
Oder vielleicht sogar ein Chat-Widget für Fragen und Feedback in die Ecke packen, wie es gerade im Trend ist?
Das wären so Ideen von mir.
Nish 2018-12-12 23:44:31
Hallo Nico,
sry., dass ich mich noch nicht gemeldet habe! Bin momentan beschäftigt und habe verschiedene Dinge um die Ohren! Ich antworte dir meinerseits spätestens Freitag ausführlich, aber ich hoffe, ich schaffe es morgen Abend!
LG,
Nish
Kulla 2018-12-15 11:43:14
@Nico: Kennst du die Seite https://de.serlo.org/community/hilfe-bearbeitung ? Wenn nein, dann gebe ich dir recht und die Seite sollte besser sichtbar sein (schließlich solltest du sie leicht finden können). Wenn ja, geht diese Seite in die richtige Richtung?
Antwort abschicken