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Eine Münze wird dreimal geworfen. Man unterscheidet Kopf (k) und Zahl (z). Wir betrachten folgende Ereignisse:

A: "Beim ersten Wurf erscheint Kopf"

B: "Beim dritten Wurf erscheint Zahl"

a. Gib die Ergebnismengen zu %%A%% und %%B%% an!

b. Beschreibe folgende Ereignisse in Worten und gib die zugehörigen Ergebnismengen an: %%A\cup B;\;A\cap B;\;\overline A;\;\overline{B;}\;A\cap\overline B;\;\overline A\cap\overline B%%.

c. Welcher Zusammenhang besteht zwischen %%A\cup B%% und %%\overline A\cap\overline B%%?

d. Gib das Gegenereignis zu {kkk} als Ergebnismenge an.

%%\Omega=\left\{(K,K,K);\;(K,K,Z);\;(K,Z,K);\;(K,Z,Z);\;(Z,K,K);\;(Z,K,Z);\;(Z,Z,K);\;(Z,Z,Z)\right\}%%

Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ausgänge des Experiments.

a) Ereignismenge angeben

%%A=\left\{\left(K,Z,Z\right); \left(K,K,Z\right);\left(K,Z,K\right);\left(K,K,K\right)\right\}%%

Dafür, dass das Ereignis A eintritt muss die Münze im ersten Wurf Kopf zeigen. Die Ausgänge der letzten beiden Würfe sind egal.

%%B\;=\left\{\left(K,K,Z\right);\left(K,Z,Z\right);\left(Z,K,Z\right);\left(Z,Z,Z\right)\right\}%%

Dafür, dass das Ereignis B eintritt muss die Münze im dritten Wurf Zahl zeigen. Die Ausgänge der ersten beiden Würfe sind egal.

b) Ereignismengen angeben

%%A\cup B=\left\{(K,K,K);\;(K,K,Z);(K,Z,K);\;(K,Z,Z);(Z,K,Z);\;(Z,Z,Z)\right\}%%

%%A\cup B%% : "Es erscheint entweder beim ersten Wurf Kopf oder beim dritten Wurf Zahl (oder sowohl als auch)"

%%\;A\cap B=\left\{\left(K,Z,Z\right);\left(K,K,Z\right)\right\}%%

%%\;A\cap B%% : "Es erscheint sowohl beim ersten Wurf Kopf als auch beim dritten Wurf Zahl"

%%\overline A=\left\{\left(Z,K,K\right);\;\left(Z,K,Z\right);\;(Z,Z,K);\;(Z,Z,Z)\right\}%%

%%\overline A%%: "Beim ersten Wurf erscheint Zahl"

%%\overline B=\left\{(K,K,K);\;(K,Z,K);\;(Z,K,K);\;(Z,Z,K)\right\}%%

%%\overline B%%: "Beim dritten Wurf erscheint Kopf"

%%A\cap\overline B=\left\{(K,K,K);\;\left(K,Z,K\right)\right\}%%

%%A\cap\overline B%%: "Es erscheint sowohl beim ersten als auch beim dritten Wurf Kopf"

%%\overline A\cap\overline B=\left\{(Z,K,K);\;(Z,Z,K)\right\}%%

%%\overline A\cap\overline B%% : Es erscheint sowohl beim ersten Wurf Zahl als auch beim dritten Wurf Kopf

c) Schnitt und Vereinigung angeben

1.%%(A\cup B)\cup(\overline A\cap\overline B)=\Omega%%
2.%%(A\cup B)\cap(\overline A\cap\overline B)=\{\}%%

Erklärung

  1. %%A\cup B%% bedeutet, dass entweder beim ersten Wurf Kopf oder beim dritten Wurf Zahl kommt.
    %%\overline{A} \cup \overline{B}%% heißt, dass beim ersten Wurf Zahl und beim dritten Wurf Kopf kommt.Vereinigt man die beiden Mengen, so heißt das, dass dass für Wurf 1 und 3 alle möglichen Ausgänge des Experiments in der Menge sind und für den zweiten Wurf keine Vorschriften gemacht werden, also beide möglichen Ausgänge für den zweiten Wurf in der Menge sind.Also sind in der Vereinigung alle möglichen Ausgänge des Experimentes, also erhalten wir die Ergebnismenge %%\Omega%%

  2. Schneidet man die beiden Mengen, so bekommt man das Ereignis, dass entweder A oder B UND das Gegenereignis zu A und zu B eintreten soll. Dies ist nicht möglich. Daher ist die Schnittmenge der beiden Mengen die leere Menge.

d) Gegenereignis angeben

%%\overline {\{(K,K,K)\}}=\left\{\left(K,K,Z\right);\;(K,Z,K);\;(K,Z,Z);\;(Z,K;K);\;(Z,K,Z);\;(Z,Z,K);\;(Z,Z,Z)\right\}%%

Das Ereignis %%\overline {(K,K,K)} =%%

%%\Omega \backslash (K,K,K)%%.