Ein Pharmainstitut behauptet, ein bestimmtes Medikament wirke mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%. Daraufhin wird das Medikament an 50 Personen verabreicht.

  1. In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei 45 der 50 Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von 5% bewiesen?

  2. Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefälscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lässt daraufhin erneut einen Test an 50 Personen durchführen.
    Formuliere für Professor Zweifels Test Nullhypothese und Gegenhypothese.
    Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von 5 % belegen will? 

Teilaufgabe 1:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Das Pharmainstitut versucht natürlich zu beweisen, dass das Medikament gut ist.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}\leq0,8%%, was bedeutet, dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als 0,8 wirkt.

Formuliere nun die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p>0,8%% , also dass das Medikament mit einer Wahrscheinlichkeit von über 80 % wirkt.

Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von 80% bei mehr Personen wirkt als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&0 \dots k & k+1 \dots 50 \\ \hline H_0:p\leq0,8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p> 0,8 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05^{}%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%1- \mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%

%%-\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k-1)\;\geq\;0,95%%

Suche in den Tabellen den kleinsten Wert k-1 bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,8) für den der Wert gerade noch größer als 0,95 ist.

Tabellenwerk liefert:

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 43)=0,89660%%;

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 44)=0,95197%%;

%%\Rightarrow\mathrm k-1\;\geq\;44%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes.

Die Nullhypothese wird also bei 44 oder wenigern Treffern im Test, also Personen bei denen das Medikament wirkt, angenommen und bei 45 oder mehr abgelehnt.

Im Test wirkte das Medikament bei 45 Personen, das liegt im für das Pharmainstitut günstigen Ablehnungsbereich.

Das Ergebnis der Testreihe ist damit signifikant bewiesen.

Teilaufgabe 2:

 

Formuliere die Nullhypothese %%{\mathrm H}_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das was man selbst beweisen will in der Gegenhypothese steht. Hier wird versucht zu überprüfen, ob das Medikament nicht doch schlechter wirkt, als behauptet.

Die Nullhypothese ist %%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}\;\geq\;0,8%%, also dass das Medikament mit 80% Wahrscheinlichkeit oder mehr wirkt.

Formuliere die Gegenhypothese %%{\mathrm H}_1%%.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p <0,8%%, also dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als 80% wirkt.

Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von 80% bei weniger Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens 5% betragen)

Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;&k+1 \dots 50 & 0 \dots k \\ \hline H_0:p\geq0,8& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p<0,8 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

%%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (n=50 p=0,8) für den der Wert gerade noch kleiner als 0,05 ist.

Tabellenwerk liefert: %%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 34)=0,03080%%; %%\mathrm P_{0,8}^{50}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm 35)=0,06072%%;

%%\Rightarrow\mathrm k\;\leq\;34%%

Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.

Die Nullhypothese wird bei 34 oder weniger Patienten, bei denen das Medikament wirkt, abgelehnt und demnach bei 35 oder mehr Patienten angenommen.