Herr G, Gemeinderat und engagierter Lokalpolitiker, verfolgt mit Besorgnis, dass am anderen Ufer des Sees, an den seine Gemeinde grenzt, eine große Fabrik geplant und gebaut wird. Als seine Proteste gegen das Bauvorhaben erfolglos bleiben, beschließt er, in der kommenden Zeit genau zu beobachten, ob der Betrieb der Fabrik negative Auswirkungen auf die Umwelt hat, und gegebenenfalls Klage einzureichen.
Vom örtlichen Anglerverein erfährt er auf Anfrage, dass der Anteil krankhaft veränderter Fische in dem See bislang stets bei rund 2% gelegen hat. Er bittet nun den Verein, in der kommenden Saison darauf zu achten, ob sich dieser Anteil erhöht hat. Es wird vereinbart, dass die Angler über die nächsten 100 gefangenen Fische genaue Notizen machen und Herrn G das Ergebnis mitteilen. Wenn dabei mehr als 4 krankhaft veränderte Fische sind, will Herr G Klage einreichen. 

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht er bei dieser Entscheidungsregel die Klage ein, obwohl sich der Anteil krankhaft veränderter Fische in Wirklichkeit nicht erhöht hat?

  2. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 5% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt das vom Anglerverein mitgeteilte Ergebnis dennoch so aus, dass Herr G keine Klage einreicht? 

  3. Angenommen, der Anteil krankhaft veränderter Fische ist seit Inbetriebnahme der Fabrik auf 10% angewachsen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht Herr G dennoch keine Klage ein? Was fällt im Vergleich mit dem Ergebnis von Teilaufgabe 2 auf?

  4. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, wenn G seine Behauptung auf dem Signifikanzniveau von 5%  belegen will? Stelle dazu den entsprechenden Hypothesentest mit Nullhypothese und Gegenhypothese (=Alternativhypothese) auf.

  5. In der Tat finden sich unter den 100 gefangenen Fischen 4 krankhaft veränderte. Während Herr G angesichts des zu wenig deutlichen Ergebnisses trotz seiner nach wie vor bestehenden Zweifel bereits resignieren will, schlägt sein Parteifreund F eine Vergrößerung der Stichprobe vor: Es soll weiter beobachtet werden, bis insgesamt 200 Fische gefangen seien. Wie muss nun die Entscheidungsregel lauten, wenn das Signifikanzniveau weiterhin 5% sein soll? Kann die Vermutung von Herr G, der Anteil krankhaft veränderter Fische habe sich auf über 2% erhöht, auf dem Signifikanzniveau von 5% angenommen werden, wenn sich unter den 200 Fischen insgesamt 8 finden, die krankhaft verändert sind?

Teilaufgabe 1:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%H_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als 2% der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}_0=0,02%%

Stelle nun die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p_1>0,02%% ; d.h. mehr als 2% der Fische sind geschädigt.

Betrachte den Fehler 1. Art auf.

Dazu müssen mindestens vier veränderte Fische gefangen werden, obwohl nach wie vor nur 2% der Fische geschädigt sind.

Gib die Wahrscheinlichkeit für den Fehler an:

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;>4)%%

Wahrscheinlichkeit = 1 - Gegenwahrscheinlichkeit.

%%=\;1\;-\;\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;1\;-\;0,94917=\;0,05083\;\approx\;5,1\;\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 5,1%.

Teilaufgabe 2:

Berachte zunächst den Aufbau des Tests.

Formuliere dazu die Nullhypothese %%H_0%%. (Was ist die Nullhypothese?)

Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Herr G glaubt, dass mehr als 2% der Fische krankhaft verändert sind.

Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil:
%%{\mathrm H}_0%%: %%{\mathrm p}_0=0,02%%

Stelle nun die Gegenhypothese %%H_1%% auf.

Die Gegenhypothese ist %%{\mathrm H}_1%%%%\mathrm p_1=0,05%%. Es handelt sich also um einen Alternativtest.

Bestimme den Fehler 2. Art.

%%\mathrm P_{0,05}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;0,43598\;\approx\;43,6\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 43,6%.

Teilaufgabe 3:

Baue den Test wie in Teilaufgabe 2 auf, bloß mit %%p_1=0,1%%.

Bestimme den Fehler 2. Art.

%%\mathrm P_{0,1}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)%%

Lese den Wert für die kumulative Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle ab.

%%\approx\;0,02371\;\approx\;2,4\% %%

Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 2,4%. Die Wahrscheinlichkeit ist im Vergleich zu Teilaufgabe 2 stark gesunken auf weniger als ein Zehntel. Dies ergibt sich dadurch, dass nun doppelt so viele Fische krank sind, d.h. die Wahrscheinlichkeit einen Fehler zu machen, ist unwahrscheinlicher. 

Teilaufgabe 4:

Bestimme den Testaufbau

Formuliere dazu die Null- und die Gegenhypothese %%H_0, H_1%%.

Die Nullhypothese wird in der Regel so gewählt, dass man seine eigene Hypothese als Gegenhypothese setzt, um diese dann signifikant zu beweisen.
Demnach ist die Nullhypothese %%H_0%%: %%p\;=\;2\% %% . Die Gegenhypothese ist demnach %%H_1%%: %%p\;>\;2\% %% .

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Betrachte dazu die folgende Tabelle:

%%\begin{array}{c|c|c}\;&\mathrm{für \;H_0}&\mathrm{für \;H_1 (gegen \;H_0})\\ \;& 0, \dots ,k& k+1, \dots ,100 \\ \hline H_0:p=0,02& \; & \mathrm{Fehler \;1.Art < 0,05}\\ \hline H_1:p>0,02 \; & \; & \\ \hline \end{array}%%

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0,05%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%\Leftrightarrow\;1-%% %%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%  auf beiden Seiten

%%\Leftrightarrow -\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\Leftrightarrow\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0,95%%

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=100 p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;4)\;\approx\;0,94917\;%%

%%\mathrm P_{0,02}^{100}(\mathrm X\;\leq\;5)\;\approx\;0,98452\;%%

%%\Rightarrow k= 5%%

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei 5 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 6 oder mehr Treffern ab.

Herr G sollte also bei sechs oder mehr veränderten Fischen Klage einreichen.

Teilaufgabe 5:

Es sind nun nicht mehr 100 sondern 200 betrachtete Fische.

Passe den Test den neuen Gegebenheiten an.

%%\Leftrightarrow n=200%%

Setze den Fehler 1. Art kleinergleich dem angegebenen Signifikanzniveau von 5%.

Der Fehler 1. Art beschreibt, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\geq\;\mathrm k+1)\;\leq0,05%%

Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.

%%\Leftrightarrow\;1-%% %%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;0,05%%

%%\left|-1\right.%%  auf beiden Seiten

%%\Leftrightarrow-\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\leq\;-0,95%%

%%\left|\cdot\left(-1\right)\right.%% auf beiden Seiten (dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um)

%%\Leftrightarrow\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;\mathrm k)\;\geq\;0,95%%

Suche in der kumulativen Tabelle den kleinsten Wert (k-1) mit n=200, p=0,2 für den der Wert gerade größer als 0,95 ist.

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;6)\;\approx\;0,89144\;%%

%%\mathrm P_{0,02}^{200}(\mathrm X\;\leq\;7)\;\approx\;0,95066\;%%

%%\Rightarrow k=7%%

Damit ist die Entscheidungsregel:

Nehme die Nullhypothese bei 7 oder weniger Treffern an und lehne die Nullhypothese bei 8 oder mehr Treffern ab.

Teste ob die genannte Anzahl von 8 Treffern im Ablehnungsbereich liegt.

Nach der Entscheidungsregel bedeuten 8 kranke Fische, dass die Nullhypothese verworfen werden muss und damit kann signifikant angenommen werden, dass sich die Anzahl auf über 2% erhöht hat.

Bemerkung: An dieser Teilaufgabe erkennt man, wie stark eine größere Stichprobe einen Test verbessern kann. Man hätte ja vermuten können, dass es egal ist, ob man 4 von 100 Fischen betrachtet, oder 8 von 200. Diese Aufgabe zeigt, dass eine größere Stichprobe bei gleichem Anteil von Treffern sogar einmal signifikant und einmal nicht signifikant sein kann.