Die Fußballvereine aus Vilsbiburg, Seyboldsdorf, Frontenhausen und Geisenhausen tragen ein Turnier aus, bei dem jeder Verein gegen jeden anderen Verein genau einmal spielt. Jeder Verein erhält für einen Sieg drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt und für eine Niederlage keinen Punkt.

  1. Wie viele Punkte können bei den sechs Spielen des Turniers insgesamt vergeben werden?

  2. Bei dem Turnier erhielt Vilsbiburg sieben Punkte, Seyboldsdorf fünf Punkte, Frontenhausen drei Punkte und Geisenhausen einen Punkt. Wie endeten die einzelnen Spiele (nur Sieg bzw. Unentschieden)?

Teilaufgabe 1

Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht 3 Spiele. Da es vier Mannchaften gibt, ergeben sich %%4\cdot 3=12%% Spiele. Da jedoch in jedem Spiel 2 Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es %%\frac{12}{2}=6%% Spiele.

Alternative Berechnung 1

Es gibt 4 Mannschaften. Gib ihnen Nummern von 1 bis 4.

Mannschaft 1 spielt gegen Mannschaften 2-4, hat also 3 Spiele.

Mannschaft 2 muss nurnoch gegen Mannschaften 3 und 4 spielen, da sie ja bereits gegen Mannschaft 1 gespielt hat. Das ergibt zwei zusätzliche Spiele.

Mannschaft 3 muss also nurnoch gegen Mannschaft 4 spielen. %%\Rightarrow%% Ein zusätzliches spiel.

Mannschaft 4 hat jetzt schon gegen die drei anderen Mannschaften gespielt. %%\Rightarrow%% kein weiteres spiel.

%%\Rightarrow 3+2+1=6%% Spiele

Alternative Berechnung 2

Ziehe zwei Nummern aus einer Urne mit vier Nummern, ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten. Aus der Tabelle in Kombinatorik ergibt sich folgende Rechnung:

%%\displaystyle\binom{4}{2}=6%%

Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg 3 Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden 2 Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.

Unentschieden

0

1

2

3

4

5

6

Punkte

%%6\cdot 3+0\cdot2 = 18%%

%%5\cdot 3+1\cdot2 = 17%%

%%4\cdot 3+2\cdot2 = 16%%

%%3\cdot 3+3\cdot2 = 15%%

%%2\cdot 3+4\cdot2 = 14%%

%%1\cdot 3+5\cdot2 = 13%%

%%0\cdot 3+6\cdot2 = 12%%

Teilaufgabe 2

Schreibe die Angabe in eine Tabelle:

Verein

Punkte

Vilsbiburg

7 Punkte

Seyboldsdorf

5 Punkte

Frontenhausen

3 Punkte

Geisenhausen

1 Punkte

Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat 7 Punkte, d.h. 2 mal gewonnen und 1 mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat 5 Punkte, d.h. 1 mal gewonnen und 2 mal unentschieden gespielt.

Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!

Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.

Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine 3 Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch 3 Unentschieden).

Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.

Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.

Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen 1 Punkt hat).

Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:

Verein

Punkte

Verein

Punkte

Vilsbiburg

1

Seyboldsdorf

1

Vilsbiburg

3

Frontenhausen

0

Vilsbiburg

3

Geisenhausen

0

Frontenhausen

3

Geisenhausen

0

Seyboldsdorf

3

Frontenhausen

0

Geisenhausen

1

Seyboldsdorf

1