Scrabble ist ein Spiel, bei dem mit Spielsteinen, auf die je ein Buchstabe aufgedruckt ist, Wörter gelegt werden. Wie viele verschiedene Wörter, auch unsinnige, können mit folgenden Steinen gelegt werden (kein Stein darf übrig bleiben).

  1. %%\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;E\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}%%

  2. %%\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;B\;}\;\boxed{\;D\;}\;\boxed{\;E\;}\;\boxed{\;N\;}\;\boxed{\;S\;}%%

  3. %%\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}%%

  4. %%\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;A\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}%%

Die Möglichkeiten n Objekte anzuordnen brechnet sich nach dem Urnenmodel "mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen". Da in diesem Fall n=k folgt für die Formel

%%\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!%%

Teilaufgabe 1

 

%%4!=24%%

Teilaufgabe 2

 

%%6!=720%%

 

Teilaufgabe 3

 

Mit Fakultät gerechnet erhalten wir jedes Wort doppelt, da hier %%\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}%% und %%\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}%% als verschiedene Wörter aufgefasst werden. Da sie aber nicht unterscheidbar sind darf es nur einmal gezählt werden. Da dies bei jedem Wort passiert muss das Ergebnis halbiert werden.

%%\Rightarrow \frac{4!}{2}=12%% Möglichkeiten

Anschauliche Erklärung mit Baumdiagramm

Hier tauchen alle möglichen Wörter als senkrechte Pfade auf.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% 12 Möglichkeiten

Teilaufgabe 4

 

Mit Fakultät gerechnet erhalten wir jedes Wort mehrfach, da hier zum Beispiel %%\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}%% und %%\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}%% als verschiedene Wörter aufgefasst werden. Da sie aber nicht unterscheidbar sind darf es nur einmal gezählt werden. Da dies bei jedem Wort passiert muss das Ergebnis angepasst werden.

Da bei jedem Wort die beiden A-Steine vertauscht werden können benötigen wir deshalb einen Faktor %%\frac{1}{2}%%.
Zudem können auch die T-Steine vertauscht werden. Dafür gibt es %%3!=6%% Möglichkeiten, die drei Steine auf die drei Positionen zu verteilen. Also ist hierfür ein Faktor %%\frac{1}{6}%% nötig.

%%\Rightarrow 5!\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=120\cdot \frac{1}{12}=10%% Möglichkeiten

Anschauliche Erklärung mit Baumdiagramm

 

Hier tauchen alle möglichen Wörter als senkrechte Pfade auf.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% 10 Möglichkeiten