Die Freundinnen Anna, Kathrin, Johanna und Vreni gehen zum Fotografen. Jede hat drei Hüte und zwei Sonnenbrillen dabei.

  1. Der Fotograf stellt die vier Mädchen nebeneinander auf, jede der jungen Damen setzt dabei einen ihrer Hüte und eine ihrer Brillen auf. Wie viele verschiedene Bilder der Freundinnen könnten aufgenommen werden?

  2. Auf dem Heimweg führen die Mädchen folgendes Gespräch:
    Anna: "Wenn wir nicht nur unsere eigenen Hüte und Brillen aufgesetzt hätten, sondern auch getauscht hätten, wie viele verschiedene Aufnahmen hätten wir dann wohl machen können?"
    Katrin: "Zuerst müssen wir uns überlegen, auf wie viele Arten wir die zwölf Hüte aufsetzen können."
    Johanna: "Ich nehme mir als Erste einen Hut und habe somit zwölf Möglichkeiten."
    Vreni: "Dann nehme ich als nächste einen Hut und habe damit noch elf zur Auswahl. Ha, jetzt weiß ich, wie ich weiterrechnen muss. Und mit den Brillen gehts genauso. Ui, das gibt eine riesige Zahl von Möglichkeiten." Wie viele Möglichkeiten gibt es?

  3. Anna: "Wie lange würden wir wohl brauchen, all' diese Fotos zu machen?" Nimm an, dass ein Foto in 10 Sekunden aufgenommen werden kann. Runde dein Ergebnis auf ganze Jahre.

Teilaufgabe 1

 

Geg.: 4 Mädchen

4 Positionen

jeweils 3 Hüte

jeweils 2 Sonnenbrillen

Jedes Mädchen hat die Auswahl zwischen 3 Hüten und 2 Sonnenbrillen. Bestimme die Möglichkeiten der Auswahl von Hüten und Sonnenbrillen für jedes Mädchen und nehme das Ergebnis hoch 4 (da es vier Mädchen gibt).

Möglichkeiten für jedes einzelne Mädchen:

%%3\cdot2=6%%

Gesamtmöglichkeiten:

%%6^4=1296%%

Betrachte nun die unterschiedlichen Aufstellungen der Mädchen: Auf der 1. Position kann noch jedes Mädchen stehen. Auf der 2. nur noch 3, da eine der Mädchen ja schon auf der 1. Position steht. Auf der 3. können nur noch 2 stehen und auf der 4. Position nur 1 Mädchen.

%%4\cdot3\cdot2\cdot1=4!=24%%

Die Gesamtzahl der möglichen Aufnahmen ergibt sich damit als Produkt aus Möglichkeiten der Auswahl von Sonnenbrillen bzw. Hüten und Aufstellungen.

%%1296\cdot24=31104%%

 

Teilaufgabe 2

 

Geg.:4 Mädchen

4 Positionen

12 Hüte

8 Sonnenbrillen

Betrachte zunächst die Möglichkeiten der 4 Mädchen die 12 Hüte in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das 1. Mädchen kann noch zwischen 12 Hüten auswählen. Das 2. nur noch zwischen 11, weil einer ja schon vom 1. Mädchen getragen wird. Das 3. Mädchen hat noch 10 Auswahlmöglichkeiten, das 4. noch 9 Möglichkeiten.

%%12\cdot11\cdot10\cdot9=11880%%

betrachte nun die Möglichkeiten der 4 Mädchen die 8 Sonnenbrillen in verschiedenen Zusammenstellungen aufzusetzen. Das 1. Mädchen kann noch zwischen 8 Sonnenbrillen auswählen. Das 2. nur noch zwischen 7, weil ja eine Sonnenbrille schon vom 1. Mädchen getragen wird. Das 3. Mädchen hat noch 6 Auswahlmöglichkeiten, das 4. noch 5.

%%8\cdot7\cdot6\cdot5=1680%%

Für die verschiedenen Positionen der Mädchen ist das Ergebnis %%4!%% wie bei Teilaufgabe 1.

%%4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24%%

Multipliziere die jeweiligen Möglichkeiten:

%%\underbrace{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}_{\mathrm{Hüte}}\cdot\underbrace{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}_{\mathrm{Brillen}}\cdot \underbrace{4!}_{\mathrm{Anordnungen}}=%%

%%=12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=12!=479.001.600%%

Teilaufgabe 3

Es gilt nach Annahme: Für ein Foto werden 10 Sekunden gebraucht.

%%12!\;\cdot\;10\;sek=4.790.016.000\;sek%%

1 Minute hat 60 Sekunden.

in Minuten:

%%4.790.016.000\;:\;60=\;79.833.600%%

1 Stunde hat 60min.

in Stunden:

%%79.833.600\;:\;60=\;1.330.560%%

1 Tag hat 24 Stunden.

in Tagen: 

%%1.330.560\;:\;24\;=55.440%%

1 Jahr hat 365 Tage

in Jahren: 

%%55.440\;:\;365\;\approx\;151,89%%

D.h. dies würde ungefähr 152 Jahre dauern.