Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen mit genau zwei Ziffern 5 bzw. mit genau einer Ziffer 5 gibt es?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Genau zwei Ziffern 5:

Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau zwei 5ern.
Wähle aus 3 Plätzen 2 aus an denen die beiden 5er stehen. Die dritte Stelle hat noch 9 Ziffern zur Verfügung. Die Zahl 055 wird dabei mitgezählt, ist aber keine dreistellige Zahl und muss deshalb abgezogen werden.
(32)(91)1=26\displaystyle\binom{3}{2}\cdot\binom{9}{1}-1=26
Es gibt also 26 Möglichkeiten.
Es gibt drei Möglichkeiten dafür die beiden 5er bei einer dreistelligen Zahl zu platzieren.
  1. Zwei 5er am Anfang (5555\square): Für die dritte Stelle stehen noch 9 Ziffern zur Verfügung (0,1,2,3,4,6,7,8,9).
  2. Eine 5 vorne und eine 5 hinten (555\square5): Wieder gibt es 9 Ziffern zur Auswahl für die freie Stelle.
  3. Zwei 5er am Ende (55\square55): Hier gibt es eine Besonderheit zu beachten. Denn an der ersten Stelle darf keine 0 stehen, da die Zahl sonst nicht dreistellig wäre. Also gibt es 8 mögliche Ziffern für die erst Stelle.
Zusammen ergeben das 9+9+8=269+9+8=26 Möglichkeiten.

Genau eine 5:

Gesucht ist eine dreistellige Zahl mit genau einer 5.
Wähle aus den drei Stellen eine aus, an die du die 5 setzt. Für die beiden anderen Stellen stehen dann noch 9 Ziffern zur Verfügung. Allerdings werden 18 Zahlen zu viel gezählt, die eine 0 oder zwei 0en am Anfang stehen haben.
(31)(91)(91)18\displaystyle\binom{3}{1}\cdot\binom{9}{1}\cdot\binom{9}{1}-18\\

=225=225
Es gibt also 225 Möglichkeiten.
Es gibt wieder drei Möglichkeiten dafür die 5 bei einer dreistelligen Zahl zu platzieren.
  1. Die 5 als erste Ziffer (55\square\square): Für die beiden anderen Stellen gibt es jeweils 9 Mögliche Ziffern zur Auswahl (0,1,2,3,4,6,7,8,9). Also 99=819\cdot9=81 Möglichkeiten.
  2. Die 5 an zweiter Stelle (5\square5\square): An der ersten Stelle darf keine 0 stehen, da die Zahl sonst nicht dreistellig wäre. Also gibt es 8 mögliche Ziffern für die erste Stelle und wieder 9 für die zweite. Insgesamt gibt es hier also 89=728\cdot9=72 Möglichkeiten.
  3. Die 5 an dritter Stelle (5\square\square5): Auch hier darf wieder keine 0 an erster Stelle stehen, damit die Zahl dreistellig bleibt. Also wieder 89=728\cdot9=72 Möglichkeiten.
Insgesamt gibt es also 81+72+72=22581+72+72=225 Möglichkeiten für dreistellige Zahlen mit genau einer 5.