Chris will alle fünfstelligen Zahlen addieren, die jede der Ziffern 1, 3, 5, 7, und 9 genau einmal enthalten. Wie viele solcher Summanden gibt es und welchen Wert hat die Summe?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik

Frage 1: Anzahl der Summanden

Es gibt 5!=54321=1205! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120 Summanden.

Frage 2: Wert der Summe

Jeder Summand hat 5 Stellen, die jeweils mit unterschiedlichem Wert in die Summe eingehen:
  • Die erste Stelle (von vorne) ist die Zehntausenderstelle: Sie geht mit dem Wert 1000010\,000 in die Summe ein.
  • Die zweite Stelle ist die Tausenderstelle: Sie geht mit dem Wert 10001000 in die Summe ein.
  • Die dritte Stelle ist die Hunderterstelle: Sie geht mit dem Wert 100100 in die Summe ein.
  • Die vierte Stelle ist die Zehnerstelle: Sie geht mit dem Wert 1010 in die Summe ein.
  • Die fünfte Stelle ist die Einerstelle: Sie geht mit dem Wert 11 in die Summe ein.
Setzt du eine beliebige Zahl an die Einerstelle, können die restlichen 4 Zahlen noch auf die vorigen Stellen verteilt werden, also gibt es insgesamt 4321=244\cdot3\cdot2\cdot1=24 Zahlen mit dieser Zahl an der Einerstelle.
Die Summe der Einerstellen aller Summanden beträgt somit 24(1+3+5+7+9)=2425=60024\cdot\left(1+3+5+7+9\right)=24\cdot25=600.
An jeder anderen Stelle ergibt sich analog 600. Damit ergibt sich die Gesamtsumme aller Summanden als:
6001+60010+600100+6001000+60010000=600\cdot1+600\cdot10+600\cdot100+600\cdot1000+600\cdot10000=
=60011111==600\cdot11111=
=6666600=6666600