Aufgaben

Mila hat in ihrem Federmäppchen 10 bunte Stifte für die sie eine Lieblingsanordnung hat.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stifte in Milas Lieblingsreihenfolge liegen, wenn ihr kleiner Bruder sie per Zufall hinlegt?

Foto Milas Lieblingsanordnung

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ereignis A: Milas Lieblingsreihenfolge

%%P(A)=?%%

Da Milas Bruder die Stifte per Zufall hinlegt, sind alle Anordnungen gleich wahrscheinlich.
Verwende daher die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeiten.

$$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}$$

In diese Formel setzt du $$\left|A\right|=1$$ ein, denn es gibt ja nur eine Lieblingsanordnung.

Überlege dir nun, was %%\left|\Omega\right|%% ist:
Für den ersten Platz sind 10 Stifte möglich, für den zweiten nur noch 9, für den dritten 8, usw.

$$\left|\Omega\right|=10\cdot9\cdot8\cdot…\cdot2\cdot1=10!$$

Gib 10! in deinen Taschenrechner ein.

$$\left|\Omega\right|=3628800$$

$$P\left(A\right)=\frac1{3628800}\approx2,76\cdot10^{-7}=2,76\cdot10^{-5}\%$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Milas Lieblingreihenfolge per Zufall richtig hingelegt wird, liegt nur bei ungefähr 0,0000276%!

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Skatspiel (32 Karten) 2 Damen im Skat (=zwei weggelegte Karten) liegen.

Zwei Karten eines Bridgespiels (52 Karten) werden gleichzeitig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. "Beide Karten sind Karokarten"

  2. "Beide Karten sind Könige"

  3. "Pikdame, Karokönig"

Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Aufgabe geht es um das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

Teilaufgabe 1

Ingesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%13%% Karten Karo.

Beim 1. Ziehen ist die Warscheinlichkeit Karo zu ziehen %%\frac{13}{52}%% , beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac{12}{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}%%

%%=\frac3{51}%% %%\approx5,9\% %%

Teilaufgabe 2

Ingesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%4%% Karten König.

Beim 1. Ziehen ist die Warscheinlichkeit einen König zu ziehen %%\frac4{52}%% ,beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac3{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac4{52}\cdot\frac3{51}=%%

%%=\frac1{221}\approx0,45\% %%

Teilaufgabe 3

Ingesamt gibt es %%52%% Karten und davon wird eine Pikdame und ein Karokönig gezogen.

Beim 1. Ziehen kann man entweder eine Pikdame oder einen Karokönig ziehen. Die Wahrscheinlikeit dafür ist jeweils %%\frac1{52}%%. Je nach dem, ob man Pikdame oder Karokönig beim ersten Mal gezogen hat, zieht man beim zweiten Mal, die noch nicht gezogene Karte. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist jeweils nur noch %%\frac1{51}%%, da eine der Karten schon gezogen wurde. Insgesamt erhält man also mit der 1. und 2. Pfadregel:

%%\frac1{52}\cdot\frac1{51}+\frac1{52}\cdot\frac1{51}=2\cdot \frac1{52}\cdot\frac1{51}= \frac2{51\cdot52}%%

%%=\frac{2}{2652}\approx0,075\%=0,08\% %%

Zwei Laplace-Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme durch 3, 4 oder 5 teilbar ist.

Wahrscheinlichkeit erechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

Mögliche Augensummen: 2,…,12.

Bestimme zunächst alle Augenzahlen, die durch 3,4 oder 5 teilbar sind.

Die durch 3,4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3,4,5,6,8,9,10,12.

Sei E die Menge aus Tupeln, deren Augensumme durch 3,4 oder 5 teilbar sind.

%%\begin{array}{l c l} E & = & \{(1,2);(1,5);(1,3);(1,4);(2,1);(2,4);(2,2);(2,6);(2,3);(3,3); \\ &&(3,6);(3,1); (3,5);(3,2);(4,2);(4,5);(4,4);(4,1);(4,6);(5,1);(5,4);\\ &&(5,3);(5,5);(6,3);(6,6);(6,2);(6,4)\}\;\;\\&\Rightarrow\; &\;\left|E\right|=27\end{array}%%

%%|\Omega|=6\cdot6\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=36%%

%%P\left(E\right)=\frac{27}{36}=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75 % ist die Augensumme durch 3,4 oder 5 teilbar.

In einer Familie gibt es 2 Söhne und 3 Töchter. Jeden Tag wird ausgelost, wer den Tisch abräumen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

es die jüngste Tochter an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die jüngste Tochter ausgelost wird. Da alle Kinder gleich wahrscheinlich gezogen werden benutze Formel für Laplace-Experimente.

%%\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15%%

Berechne die Wahrscheinlichkeit , dass es die jüngste Tochter zweimal hintereinander trifft.

%%\frac15\cdot\frac15=\frac1{25}=0,04=4\% %%

es irgendein Kind an zwei aufeinanderfolgenden Tagen trifft

Hier ist egal, welches der Kinder zweimal hintereinander gezogen wird. Deshalb ist es nicht wichtig, wer am ersten Tag gezogen wird.
Berechne also die Wahrscheinlichkeit, dass am zweiten Tag ein bestimmtes Kind abräumen muss, nämlich das gleiche, das am ersten Tag ausgelost wurde.

%%\displaystyle\frac{\text{Anzahl betroffener Kinder}}{\text{Gesamtanzahl Geschwister}}=\frac15%%

Ergibt sich aus Formel für Laplace-Experimente.

%%\frac15=0,2=20\% %%

an zwei aufeinanderfolgenden Tagen Söhne abspülen müssen?

Benutze dazu die Formel zur Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten.
Bestimme dazu die Mächtigkeiten von %%\Omega%% und %%E%% = "an zwei Tagen nacheinander werden Söhne gezogen".

Es gibt an jedem Tag eines von fünf Kindern ausgewählt wird, ergeben sich für zwei aufeinaderfolgende Tage %%5\cdot 5=25%% Möglichkeiten.

%%\Rightarrow |\Omega|=25%%

Um an zweimal nacheinander Söhne zu ziehen gibt es %%2\cdot2=4%% Möglichkeiten.

%%\Rightarrow |E|=4%%

Berechne damit die Wahrscheinlichkeit.

%%\displaystyle P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{4}{25}=0,16=16\% %%

Ein Prüfer gibt eine Liste von 8 Fragen aus. Bei der Prüfung wird er dem jeweiligen Prüfling 2 davon vorlegen, von denen dieser eine bearbeiten muss.

Felix Faul bereitet sich nur auf eine der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seine Frage gestellt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird zufällig eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Die von Fritz vorbereitete Frage kommt entweder als erste, dann ist die zweite Frage egal, oder sie kommt als zweite, wenn als erstes eine andere gezogen wurde.

%%P_1=\frac18\cdot \frac77=\frac18\cdot1=\frac18%%

Die vorbereitete Frage wird gleich als erste gezogen.

%%P_2=\frac78 \cdot \frac 17=\frac18%%

Es wird erst eine der anderen und dann die vorbereitete Frage gezogen.

%%\Rightarrow P=P_1+P_2=\frac18+\frac18=\frac28=\frac14=25\% %%

Alexander Arglos bereitet sich auf 6 der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens eine vorbereitete Frage vorgelegt bekommt?

Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Hier ist es am einfachsten, über das Gegenereignis zu gehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der vorbereiten Fragen gezogen wird ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Fragen gezogen wird.

%%\text{P(keine der Fragen)}=\frac28\cdot \frac 17=\frac{2}{56}%%

In der esten Stufe sind zwei von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen nicht vorbereitet worden.

%%\Rightarrow \text{P(mindestens eine Frage)}%%
%%=1-\text{P(keine der Fragen)}%%

Berechne das Gegenereignis.

%%=1-\frac{2}{56}=\frac{54}{56}\approx0,964=96,4\% %%

Aus sechs Ehepaaren werden zwei Personen ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um

zwei Damen?

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in beiden Stufen eine Dame gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Anzahl der Damen durch die Gesamtzahl der Personen.

%%P=\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{30}{132}=\frac{5}{22}\approx 0,227=22,7\%%%

zwei Herren?

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in beiden Stufen eine Herr gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist die Anzahl der Männer durch die Gesamtzahl der Personen.

%%P=\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}=\frac{30}{132}=\frac{5}{22}\approx 0,227=22,7\%%%

eine Dame und einen Herren?

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss entweder in der ersten Stufe eine Dame und in der zweiten ein Herr gezogen werden, oder umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit ist jeweils die Anzahl der Damen bzw. Herren durch die Gesamtzahl der Personen.

%%P(\text{erst Frau, dann Mann})=\frac{6}{12}\cdot\frac{6}{11}=\frac{36}{132}%%

Da die Wahrscheinlichkeit in beiden Fällen identisch ist kann diese einfach verdoppelt werden.

%%P=2\cdot\frac{36}{132}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}\approx0,546=54,6\% %%

ein Ehepaar?

Es handelt sich um ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von zwölf Personen gezogen, in der zweiten Stufe eine von den verbleibenden elf.
Hier muss in der zweiten Stufe der Ehepartner der in der ersten Stufe gezogen Person gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist eins durch die Gesamtzahl der übrigen Personen. Welche Person dabei in der ersten Stufe gezogen wurde ist egal.

%%P=\frac{12}{12}\cdot \frac{1}{11}=\frac{1}{11}\approx0,091=9,1\% %%

Zwei Buchstaben werden aus dem Wort "LASSO"  zufällig und ohne Zurücklegen ausgewählt.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

zwei Konsonanten gewählt werden?

%%P\left(E\right)=\left\{LS_1;LS_2;S_1L;S_1S_2;S_2L;S_2S_1\right\}%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=6%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac6{20}=0,3%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 30% zieht man 2 Konsonanten.

mindestens ein S darunter ist

%%P\left(E\right)=\left\{LS_1;LS_2;AS_1;AS_2;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OS_1;OS_2\right\}\;\;%%\

%%\;\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=14%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac{14}{20}=0,7%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 70% zieht man mindestens ein S.

mindestens ein A darunter ist

%%P\left(E\right)=\left\{LA;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1A;S_2A;OA\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=8%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{LA;LS_1;LS_2;LO;AL;AS_1;AS_2;AO;S_1L;S_1A;S_1S_2;S_1O;S_2L;S_2A;S_2S_1;S_2O;OL;OA;OS_1;OS_2\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=20\end{array}%%

Ereignis errechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac8{20}=0,4%%

Zur weiteren Veranschaulichung in Prozent umzurechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 40% zieht man mindestens ein A.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen? (mit gleicher Wahrscheinlichkeit für jeden Monat)

Für den ersten Monat kann jeder der 12 Leute Geburtstag haben, im 2. nur noch 11 Leute, da einer schon im 1. Monat hatte. Im 3. noch 10 Leute, usw.

%%\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac9{12}\cdot\frac8{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac6{12}\cdot\frac5{12}\cdot\frac4{12}\cdot\frac3{12}\cdot\frac2{12}\cdot\frac1{12}%%

%%=\frac{12!}{12^{12}}\approx0,005\% %%

An einem Geburtstag setzen sich 5 Mädchen und 5 Jungen an einen runden Tisch. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine bunte Reihe.

Es gibt 2 Möglichkeiten die bunte Reihe aufzubauen.

Auf den 1. Platz kann sich jeder der 5 Jungen setzen, auf den 2. jedes der 5 Mädchen. Auf den 3. nur noch 4 Jungen usw. (oder andersherum)

%%2\cdot\frac5{10}\cdot\frac59\cdot\frac48\cdot\frac47\cdot\frac36\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot1=%%

%%\approx0,79\% %%

Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit 4, 6 und 8 Seitenflächen erstellen.

Netze der 4-,6- und 8-seitigen Würfel

  1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhälst du für die Augenzahlen 0, 1 und 2 bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?

  2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „2“ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.

  3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „0“ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „0“ zu werfen?

  4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis
    ergeben:

 

Augenzahl

0

1

2

absolute Häufigkeit

241

253

506

Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.

Teilaufgabe 1

Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.

Würfel 1

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac14=25\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac14=25\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac24=50\% %%

Würfel 2

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac26\approx33\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac26\approx33\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac26\approx33\% %%

Würfel 3

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac38=37,5\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac38=37,5\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac28=\frac14=25\% %%

Teilaufgabe 2

Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine 2 zu Würfeln ist Würfel 1.

Teilaufgabe 3

Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit eine 0 zu würfeln von 100% ab.

Würfel 1

%%100\%-25\%=75\% %%

Würfel 2

%%100\%-33\%=67\% %%

Würfel 3

%%100\%-37,5\%=62,5\% %%

Teilaufgabe 4

Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.

Summe aller Würfe %%\begin{array}{l}=1000\\\end{array}%%

Anteil 0 %%=\frac{241}{1000}=24,1\% %%

Anteil 1 %%=\frac{253}{1000}=25,3\% %%

Anteil 2 %%=\frac{\;506}{1000}=50,6\% %%

Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 in Frage kommen kann.

Auf einer Fähre befinden sich 20 Personen. Zwei Personen haben Schmuggelware dabei, einer dieser Schmuggler ist Felix. Ein Zollbeamter ruft der Reihe nach 3 Personen zur Kontrolle von der Fähre herunter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

mindestens einer der Schmuggler entdeckt wird?

Wahrscheinlichkeit berechnen

%%P\{\mathrm{"mindestens\;einer\;der\;Schmuggler}%%

%%\;\mathrm{wird\;entdeckt"}\}%%

Bilde das Gegenereignis.

%%=1-P\{\mathrm{"keiner\;der\;Schmuggler}%%

%%\;\mathrm{wird\;entdeckt"\}}%%

18 von 20 Personen an Board sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird ist %%\frac{18}{20}%%. Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit %%\frac{17}{19}%%. Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.

%%1-\left(\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19}\cdot\frac{16}{18}\right)=\frac{27}{95}\approx28,4\% %%

Felix entdeckt wird?

Wahrscheinlichkeit berechnen

%%P\left(\mathrm{"Felix\;wird\;entdeckt"}\right)=%%

Es gibt 3 verschieden Möglichkeiten wie Felix entdeckt werden könnte. 1. Bei der ersten Kontrolle. 2. Erst bei der zweiten Kontrolle. Davor wird irgendeiner der anderen Passagiere kontrolliert. 3. Erst bei der dritten Kontrolle. Diese Möglichkeiten müssen addiert werden.

%%=\underbrace{\frac1{20}}_{Bei\;der\;1.\;Kontrolle}+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac1{19}\right)}_{Bei\;der\;2.\;Kontrolle}%%

%%+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac1{18}\right)}_{Bei\;der\;3.\;Kontrolle}=%%

%%=\frac1{20}+\frac1{20}+\frac1{20}=%%

%%=\frac3{20}=0,15=15\% %%

beide Schmuggler bei dieser Kontrolle entdeckt werden?

%%\mathrm P=\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{günstiger}\;\mathrm{Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{mögliche}\;\mathrm{Ergebnisse}}%% ( Laplace )

Anzahl möglicher Ergebnisse ausrechnen

Es gibt %%\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}%% Möglichkeiten, 3 Menschen aus 20 auszuwählen.

Anzahl günstiger Ergebnisse ausrechnen

Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen.

%%\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\cdot18}{\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{1\cdot18}{\displaystyle\frac{20!}{17!\cdot3!}}=\frac{18}{1140}\approx0.016%%

Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?

Zwei Jungen und drei Mädchen sind eingeladen. Sie treffen nacheinander ein. Jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

die drei Mädchen direkt nacheinander eintreffen?

In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 6 Spanier und 10 Schweizer. Zwei Personen werden zufällig ausgelost. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Schweizer ausgelost wird?

Wahrscheinlichkeit berechnen

geg.: 5 Franzosen ; 6 Spanier ; 10 Schweizer;

%%\Rightarrow%%  Insgesamt: 21 Personen

%%P\left(\mathrm{"genau\;ein\;Schweizer"}\right)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schweizer ausgelost wird ist %%\frac{10}{21}%%. Beim 2. Losen dürfen nur Spanier oder Franzosen gezogen werden. Daher %%\frac{11}{20}%%. Da aber auch erst ein Franzose oder Spanier und dann erst ein Schweizer gezogen werden kann, muss das Ganze mal 2 genommen werden.

%%=\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}+\frac{11}{21}\cdot\frac{10}{20}%%

%%=2\cdot\left(\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}\right)%%

%%=2\cdot\frac{11}{42}%%

%%=\frac{11}{21}\approx52,4\% %%

In einer Schublade befinden sich 6 graue, 4 blaue und 4 rote Socken. Im Dunkeln werden der Schublade 2 Socken entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Socken von der gleichen Farbe?

Inhalt: 14 Socken: 6 g, 4 b, 4 r

Je nachdem welche Socke zuerst gezogen wird, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für die geforderte gleiche 2. Socke. Bei jeder der 3 Möglichkeiten können zu anfangs noch 14 Socken gezogen werden, beim 2. Ziehen nur noch 13, da eine schon herausgenommen wurde.

%%\frac6{14}\cdot\frac5{13}+\frac4{14}\cdot\frac3{13}+\frac4{14}\cdot\frac3{13}%%

%%=\frac{15}{91}+\frac6{91}+\frac6{91}%%

%%=\frac{27}{91}\approx29,7\% %%

Eine Urne enthält 7 blaue und 5 rote Kugeln. Man zieht 4 Kugeln einmal mit und einmal ohne Zurücklegen. Dabei erhält man die Farbfolge brrb. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis in beiden Fällen?

Ziehen mit Zurücklegen

P{"bei 4-maligen Ziehen brrb-Farbreihenfolge"}

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer %%\frac7{12}%% bzw. %%\frac5{12}%% , da alle Kugeln wieder zurückgelegt werden.

%%\frac5{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac5{12}%%

%%=\frac{1225}{20736}\approx5,91\% %%

Ziehen ohne Zurücklegen

P{"bei 4-maligen Ziehen brrb-Farbreihenfolge"}

Sobald eine Kugel herausgenommen wird, ist beim nächsten Ziehen eine Kugel weniger in der Urne.

%%\frac7{12}\cdot\frac5{11}\cdot\frac4{10}\cdot\frac69%%

%%=\frac7{99}\approx7,07\% %%

Bei einem Gewinnspiel auf dem Volksfest stehen zwei Möglichkeiten für Max zur Verfügung. Bei der ersten gewinnt man, wenn man aus einer Urne mit 6 weißen und 4 roten Kugeln bei einmaligem Ziehen eine weiße Kugel erhält, bei der zweiten, indem man aus zwei Urnen, einer mit gleich vielen weißen und roten Kugeln und einer wie bei der ersten Möglichkeit, zwei verschiedenfarbige Kugeln zieht. Welche der beiden Möglichkeiten sollte Max wählen, um eine möglichst hohe Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn zu haben?

Für die Aufgabe solltest du wissen, wie du Wahrscheinlichkeiten berechnest.

1. Möglichkeit:

Insgesamt: 6w ;  4r

P{"bei einmaligem Ziehen 1 weiße Kugel"}

Es gibt 6 Möglichkeiten, dass eine weiße Kugel gezogen wird.

%%\frac6{10}=60\% %%

2. Möglichkeit:

Urne 1: 6w ; 4r

Urne 2: x w ; x r

Wenn Max in Urne 1 zuerst eine Weiße zieht, muss er in Urne 2 eine Rote ziehen.

Wenn er in Urne 1 zuerst eine Rote zieht, muss er in Urne 2 eine Weiße ziehen.

In Urne 2 ist die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln gleich ( %%\rightarrow\;x\;r\;;\;x\;w%% ), deshalb ist jeweils die Chance die andere Farbe wie in Urne 1 zu ziehen %%\frac12%% .

%%\frac6{10}\cdot\frac12+\frac4{10}\cdot\frac12%%

Multipliziere die Brüche.

%%=\frac6{20}+\frac4{20}%%

Addiere die Brüche.

%%=\frac{10}{20}=\frac12=50\% %%

%%\;\Rightarrow%% Es ist günstiger für Max die 1. Möglichkeit zu nehmen, da er eine höhere Gewinnchance hat.

Eine Laplace-Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. P(E)="Es fällt genau einmal Kopf"

  2. P(E)="Es fällt mindestens einmal Kopf"

  3. P(E)="Es fällt höchstens einmal Kopf"

Teilaufgabe a

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZK;\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=2%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac24=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt genau einmal Kopf.

Teilaufgabe b

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;KK;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt mindestens einmal Kopf.

Teilaufgabe c

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZZ;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt höchstens einmal Kopf.

Eine Laplace-Münze mit den Seiten Kopf und Zahl wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

  1. P(E)="Es fällt genau zweimal Zahl"

  2. P(E)="Es fällt mindestens zweimal Zahl"

  3. P(E)="Es fällt höchstens zweimal  Zahl"

Teilaufgabe a

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac38=0,375%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 37,5% fällt genau zweimal Zahl.

Teilaufgabe b

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=4%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac48=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt mindestens zweimal Zahl.

Teilaufgabe c

 

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens zweimal Zahl vorkommt.

%%E=\left\{KZZ;ZKZ;KKK;ZZK;KKZ;KZK;ZKK\right\}%%

%%\;\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=7%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac78=0,875%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 87,5% fällt höchstens zweimal Zahl.

Eine Laplace-Münze wird 10mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim k-ten Wurf zum ersten Mal Wappen geworfen wird für k=1,2,…10.

Beispiele für k =1,2…,10

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(W)=\frac12=50\% %%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zweiten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZW)=\frac12\cdot\frac12=\frac14=25\% %%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim dritten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZZW)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18=12,5\% %%

usw.

%%P(ZZZW)=…%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zehnten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZZZZZZZZZW)=\left(\frac12\right)^{10}=\frac1{1024}\approx0,097\% %%

Allgemein:

Für den häufigen Wurf einer Laplace-Münze ergibt sich nach den Pfadregeln des Baumdiagramms der Stochastik die Wahrscheinlichkeit:

P("erst beim k-ten Wurf W") = %%\left(\frac12\right)^k%%

Gib für die folgenden Zufallsexperimente jeweils einen Ergebnisraum an und berechne die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse.

Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt.
A: Es handelt sich um ein „E“.
B: Es handelt sich um einen Konsonanten.

C: Es handelt sich um einen Vokal.

Hier handelt es sich um ein Laplace-Experiment, da jeder Buchstabe mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann.
Wichtig ist dabei, dass hier Buchstaben, die mehrfach vorkommen, unterschieden werden.

Benutze also die Formel für Laplace-Exerimente um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

A: Ein "E" wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von A.

|A|= Anzahl "E"s in
"ZUFALLSEXPERIMENT" = 3

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(A).

%%\displaystyle P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3}{17}\approx 17,6\% %%

B: Ein Konsonant wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von B.

|B|= Anzahl Konsonanten in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 11

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(B).

%%\displaystyle P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{11}{17}\approx 64,7\% %%

C: Ein Vokal wird gezogen.

Bestimme die Mächtigkeit von C.

|C|= Anzahl Vokale in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 6

Bestimme die Mächtigkeit von %%\Omega%%.

%%|\Omega|=%% Anzahl der Buchstaben in "ZUFALLSEXPERIMENT" = 17

Bestimme daraus P(C).

%%\displaystyle P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}=\frac{6}{17}\approx 35,3\% %%

Eine Lostrommel enthält 600 Lose. Zwei Drittel davon sind Nieten, 80 % des Restes ergeben Trostpreise, die übrigen Lose ergeben Hauptgewinne.

A:Das gezogene Los ergibt einen Trostpreis.

B:Das gezogene Los ergibt keinen Hauptgewinn.

Berechne zuerst die Anzahl der Nieten, Trostpreise und Hauptgewinne.

Es gibt

%%\frac{2}{3} \cdot 600 = 400%% Nieten

Zweidrittel der Lose sind Nieten.  

(%%\frac{1}{3} \cdot 600) \cdot 0,8 = 160%% Trostpreise

%%\Rightarrow%% 40 Hauptgewinne

Ein Drittel sind Gewinne und 80% davon sind Trostpreise.

 

%%P(A)=\frac{160}{600} \approx 26,7\% %%

Berechne nach Laplace-Formel.

%%P(B)=\frac{600-40}{600}=\frac{560}{600}=93,3\% %%

Berechne nach Laplace-Formel.

%%\;\;\Rightarrow%%   Die Wahrscheinlichkeit einen Trostpreis zu ziehen liegt bei 26,7%, die Wahrschienlichkeit keinen Hauptgewinn zu ziehen bei 93,3%.

         

In einem Spiel wird eine L-Münze dreimal geworfen. Erscheint zweimal nacheinander Zahl, so erhält der Spieler einen Preis. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt man einen solchen Preis?

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZZZ;ZZK\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZZ;KZK;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Ereignis erechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac38=0,375%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 37,5% gewinnt man den Preis.

Drei L-Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: ="Keine Sechs"

B: ="Genau 1 Sechs"

C: ="Genau zweimal Sechs"

D: ="Alle drei Würfel zeigen Sechs"

A: P{"Keine Sechs"}

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Wahrscheinlichkeit der drei Würfel miteinander multiplizieren.

%%\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56=\left(\frac56\right)^3\approx57,9\% %%

B: P{"Genau 1 Sechs"}

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Die Wahrscheinlichkeit des Würfels mit "einer sechs" mit den Wahrscheinlichkeiten für "keine sechs" multiplizieren.

Die sechs kann an drei verschiedenen Stellen stehen.

%%\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot3%%

%%=\frac{75}{216}\approx34,7\% %%

C: P{"Genau zweimal Sechs" }

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Die Wahrscheinlichkeit des Würfels mit "keine sechs" mit den Wahrscheinlichkeiten für "eine sechs" multiplizieren.

Die Nicht-Sechs kann an drei verschiedenen Stellen stehen.

%%\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot3%%

%%=\frac{15}{216}\approx6,9\% %%

D: P{"Alle drei Würfel zeigen Sechs"}

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

Wahrscheinlichkeit der drei Würfel miteinander multiplizieren.

%%\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16=\left(\frac16\right)^3%%

%%=\frac1{216}\approx0,46\% %%

Kommentieren Kommentare