Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Ereignis %%A%%: Milas Lieblingsreihenfolge

%%P(A)={?}%%

Da Milas Bruder die Stifte per Zufall hinlegt, sind alle Anordnungen gleich wahrscheinlich.
Verwende daher die Formel für die Laplace-Wahrscheinlichkeiten.

$$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathit\Omega\right|}$$

In diese Formel setzt du $$\left|A\right|=1$$ ein, denn es gibt ja nur eine Lieblingsanordnung.

Überlege dir nun, was %%\left|\mathit\Omega\right|%% ist:
Für den ersten Platz sind 10 Stifte möglich, für den zweiten nur noch 9, für den dritten 8 usw.

$$\left|\mathit\Omega\right|=10\cdot9\cdot8\cdot…\cdot2\cdot1=10!$$

Gib 10! in deinen Taschenrechner ein.

$$\left|\mathit\Omega\right|=3\,628\,800$$

$$P(A)=\frac1{3\,628\,800}\approx2{,}76\cdot10^{-7}=2{,}76\cdot10^{-5}\,\%$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Milas Lieblingsreihenfolge per Zufall richtig hingelegt wird, liegt nur bei ungefähr 0,000 027 6 %!

Wahrscheinlichkeit berechnen

Insgesamt: 32 Karten, davon 4 Damen

Es gibt 4 Dame-Karten, die beim ersten Aufdecken gezogen werden können. Beim zweiten gibt es eine Dame weniger.

%%\frac4{32}\cdot\frac3{31}=\frac3{248}\approx1{,}2\,\% %%

Multiplikation.

Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Aufgabe geht es um das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten.

Teilaufgabe 1

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%13%% Karten Karo.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, Karo zu ziehen, %%\frac{13}{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac{12}{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}%%

%%=\frac3{51}%% %%\approx5{,}9\,\% %%

Teilaufgabe 2

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon sind %%4%% Karten König.

Beim 1. Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen %%\frac4{52}%%, beim 2. Ziehen kann es nur noch %%\frac3{51}%% sein, da eine der Karten schon gezogen wurde.

%%\frac4{52}\cdot\frac3{51}=%%

%%=\frac1{221}\approx0{,}45\,\% %%

Teilaufgabe 3

Insgesamt gibt es %%52%% Karten und davon wird eine Pikdame und ein Karokönig gezogen.

Beim 1. Ziehen kann man entweder eine Pikdame oder einen Karokönig ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils %%\frac1{52}%%. Je nachdem, ob man Pikdame oder Karokönig beim ersten Mal gezogen hat, zieht man beim zweiten Mal die noch nicht gezogene Karte. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist jeweils nur noch %%\frac1{51}%%, da eine der Karten schon gezogen wurde. Insgesamt erhält man also mit der 1. und 2. Pfadregel:

%%\frac1{52}\cdot\frac1{51}+\frac1{52}\cdot\frac1{51}=2\cdot \frac1{52}\cdot\frac1{51}= \frac2{51\cdot52}%%

Brüche multiplizieren und addieren.

%%=\frac{2}{2652}\approx0{,}075\,\%=0{,}08\,\% %%

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeit erechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

Mögliche Augensummen: 2,…,12.

Bestimme zunächst alle Augenzahlen, die durch 3,4 oder 5 teilbar sind.

Die durch 3,4 oder 5 teilbaren Augensummen sind 3,4,5,6,8,9,10,12.

Sei E die Menge aus Tupeln, deren Augensumme durch 3,4 oder 5 teilbar sind.

%%\begin{array}{l c l} E & = & \{(1,2);(1,5);(1,3);(1,4);(2,1);(2,4);(2,2);(2,6);(2,3);(3,3); \\ &&(3,6);(3,1); (3,5);(3,2);(4,2);(4,5);(4,4);(4,1);(4,6);(5,1);(5,4);\\ &&(5,3);(5,5);(6,3);(6,6);(6,2);(6,4)\}\;\;\\&\Rightarrow\; &\;\left|E\right|=27\end{array}%%

%%|\Omega|=6\cdot6\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=36%%

%%P\left(E\right)=\frac{27}{36}=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75 % ist die Augensumme durch 3,4 oder 5 teilbar.

Wahrscheinlichkeit berechnen

Für den ersten Monat kann jeder der 12 Leute Geburtstag haben, im 2. nur noch 11 Leute, da einer schon im 1. Monat hatte, im 3. noch 10 Leute usw.

%%\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac9{12}\cdot\frac8{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac6{12}\cdot\frac5{12}\cdot\frac4{12}\cdot\frac3{12}\cdot\frac2{12}\cdot\frac1{12}%%

%%=\frac{12!}{12^{12}}\approx0{,}005\,\% %%

Wahrscheinlichkeit berechnen

Es gibt 2 Möglichkeiten, die bunte Reihe aufzubauen.

Auf den 1. Platz kann sich jeder der 5 Jungen setzen, auf den 2. jedes der 5 Mädchen, auf den 3. nur noch 4 Jungen usw. (oder andersherum).

%%2\cdot\frac5{10}\cdot\frac59\cdot\frac48\cdot\frac47\cdot\frac36\cdot\frac35\cdot\frac24\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot1%%

Multiplikation.

%%\approx0{,}79\,\% %%

Teilaufgabe 1

Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.

Würfel 1

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac14=25\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac14=25\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac24=50\,\% %%

Würfel 2

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac26\approx33\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac26\approx33\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac26\approx33\,\% %%

Würfel 3

Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 %%=\frac38=37{,}5\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 %%=\frac38=37{,}5\,\% %%

Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 %%=\frac28=\frac14=25\,\% %%

Teilaufgabe 2

Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine 2 zu würfeln, ist Würfel 1.

Teilaufgabe 3

Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu würfeln, von %%100\,\% %% ab.

Würfel 1

%%100\,\%-25\,\%=75\,\% %%

Würfel 2

%%100\,\%-33\,\%=67\,\% %%

Würfel 3

%%100\,\%-37{,}5\,\%=62{,}5\,\% %%

Teilaufgabe 4

Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.

Summe aller Würfe %%\begin{array}{l}=1000\\\end{array}%%

Anteil 0 %%=\frac{241}{1000}=24{,}1\,\% %%

Anteil 1 %%=\frac{253}{1000}=25{,}3\,\% %%

Anteil 2 %%=\frac{506}{1000}=50{,}6\,\% %%

Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 in Frage kommen kann.

%%P_1=2\cdot\frac12\cdot\frac13=\frac13\approx33{,}3\,\% %%

%%P_2=1-P_1\approx66{,}7\,\% %%

Wahrscheinlichkeit berechnen

Artikel zum Thema

Geg.: 5 Franzosen, 6 Spanier, 10 Schweizer.

%%\Rightarrow%%  Insgesamt: 21 Personen.

%%P(\text{„genau ein Schweizer“})%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schweizer ausgelost wird, ist %%\frac{10}{21}%%. Beim 2. Losen dürfen nur Spanier oder Franzosen gezogen werden. Daher %%\frac{11}{20}%%. Da aber auch erst ein Franzose oder Spanier und dann erst ein Schweizer gezogen werden kann, muss das Ganze mal 2 genommen werden.

%%=\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}+\frac{11}{21}\cdot\frac{10}{20}%%

%%=2\cdot\left(\frac{10}{21}\cdot\frac{11}{20}\right)%%

Multipliziere aus.

%%=2\cdot\frac{11}{42}%%

%%=\frac{11}{21}\approx52{,}4\,\% %%

Wahrscheinlichkeit berechnen

Inhalt: 14 Socken: 6 graue, 4 blaue, 4 rote.

Je nachdem, welche Socke zuerst gezogen wird, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für die geforderte gleiche 2. Socke. Bei jeder der 3 Möglichkeiten können anfangs noch 14 Socken gezogen werden, beim 2. Ziehen nur noch 13, da eine schon herausgenommen wurde.

%%\frac6{14}\cdot\frac5{13}+\frac4{14}\cdot\frac3{13}+\frac4{14}\cdot\frac3{13}%%

Multiplikation.

%%=\frac{15}{91}+\frac6{91}+\frac6{91}%%

%%=\frac{27}{91}\approx29{,}7\,\% %%

Wahrscheinlichkeit berechnen

Ziehen mit Zurücklegen

%%P%%(„bei 4-maligem Ziehen brrb-Farbreihenfolge“)

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer %%\frac7{12}%% bzw. %%\frac5{12}%%, da alle Kugeln wieder zurückgelegt werden.

%%\frac5{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac7{12}\cdot\frac5{12}%%

%%=\frac{1225}{20736}\approx5{,}91\,\% %%

Ziehen ohne Zurücklegen

%%P%%(„bei 4-maligem Ziehen brrb-Farbreihenfolge“)

Sobald eine Kugel herausgenommen wird, ist beim nächsten Ziehen eine Kugel weniger in der Urne.

%%\frac7{12}\cdot\frac5{11}\cdot\frac4{10}\cdot\frac69%%

%%=\frac7{99}\approx7{,}07\,\% %%

Für die Aufgabe solltest du wissen, wie du Wahrscheinlichkeiten berechnest.

1. Möglichkeit:

Insgesamt: 6w ;  4r

P{"bei einmaligem Ziehen 1 weiße Kugel"}

Es gibt 6 Möglichkeiten, dass eine weiße Kugel gezogen wird.

%%\frac6{10}=60\% %%

2. Möglichkeit:

Urne 1: 6w ; 4r

Urne 2: x w ; x r

Wenn Max in Urne 1 zuerst eine Weiße zieht, muss er in Urne 2 eine Rote ziehen.

Wenn er in Urne 1 zuerst eine Rote zieht, muss er in Urne 2 eine Weiße ziehen.

In Urne 2 ist die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln gleich ( %%\rightarrow\;x\;r\;;\;x\;w%% ), deshalb ist jeweils die Chance die andere Farbe wie in Urne 1 zu ziehen %%\frac12%% .

%%\frac6{10}\cdot\frac12+\frac4{10}\cdot\frac12%%

Multipliziere die Brüche.

%%=\frac6{20}+\frac4{20}%%

Addiere die Brüche.

%%=\frac{10}{20}=\frac12=50\% %%

%%\;\Rightarrow%% Es ist günstiger für Max die 1. Möglichkeit zu nehmen, da er eine höhere Gewinnchance hat.

Laplace-Experiment

Teilaufgabe a

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZK;\right\}\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=2%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac24=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt genau einmal Kopf.

Teilaufgabe b

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;KK;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt mindestens einmal Kopf.

Teilaufgabe c

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens einmal Kopf vorkommt.

%%E=\left\{KZ;ZZ;ZK;\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\Omega=\left\{KK;KZ;ZK;ZZ\right\}\;\;%%

%%\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=4%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac34=0,75%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 75% fällt höchstens einmal Kopf.

Laplace-Experiment

Teilaufgabe a

Bestimme alle Ereignisse, in denen genau zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac38=0,375%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 37,5% fällt genau zweimal Zahl.

Teilaufgabe b

Bestimme alle Ereignisse, in denen mindestens zweimal Zahl vorkommt.

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=4%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac48=0,5%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 50% fällt mindestens zweimal Zahl.

Teilaufgabe c

Bestimme alle Ereignisse, in denen höchstens zweimal Zahl vorkommt.

%%E=\left\{KZZ;ZKZ;KKK;ZZK;KKZ;KZK;ZKK\right\}%%

%%\;\;\;\Rightarrow\;\;\left|E\right|=7%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZK;KZZ;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Wahrscheinlichkeit mit Formel des Laplace-Experiments berechnen.

%%P\left(E\right)=\frac78=0,875%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 87,5% fällt höchstens zweimal Zahl.

Laplace-Experiment

Beispiele für k =1,2…,10

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim ersten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(W)=\frac12=50\% %%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zweiten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZW)=\frac12\cdot\frac12=\frac14=25\% %%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim dritten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZZW)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18=12,5\% %%

usw.

%%P(ZZZW)=…%%

…

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst beim zehnten Wurf Wappen geworfen wird.

%%P(ZZZZZZZZZW)=\left(\frac12\right)^{10}=\frac1{1024}\approx0,097\% %%

Allgemein:

Für den häufigen Wurf einer Laplace-Münze ergibt sich nach den Pfadregeln des Baumdiagramms der Stochastik die Wahrscheinlichkeit:

P("erst beim k-ten Wurf W") = %%\left(\frac12\right)^k%%

Laplace-Experiment

%%P\left(E\right)=\left\{KZZ;ZZZ;ZZK\right\}\;\;%%

%%\;\;\,\Rightarrow\;\;\left|E\right|=3%%

%%\begin{array}{l}\Omega=\left\{KKK;KKZ;KZZ;KZK;ZKK;ZKZ;ZZK;ZZZ\right\}\\\;\;\Rightarrow\;\;\left|\Omega\right|=8\end{array}%%

Ereignis erechnen, durch die Formel des Laplace-Experiments .

%%P\left(E\right)=\frac38=0,375%%

In Prozent umrechnen.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% zu 37,5% gewinnt man den Preis.

Wahrscheinlichkeit berechnen

A: P{"Keine Sechs"}

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Wahrscheinlichkeit der drei Würfel miteinander multiplizieren.

%%\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56=\left(\frac56\right)^3\approx57,9\% %%

B: P{"Genau 1 Sechs"}

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Die Wahrscheinlichkeit des Würfels mit "einer sechs" mit den Wahrscheinlichkeiten für "keine sechs" multiplizieren.

Die sechs kann an drei verschiedenen Stellen stehen.

%%\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot3%%

Multiplikation.

%%=\frac{75}{216}\approx34,7\% %%

C: P{"Genau zweimal Sechs" }

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

P für "keine 6" %%=\frac56%%

Die Wahrscheinlichkeit des Würfels mit "keine sechs" mit den Wahrscheinlichkeiten für "eine sechs" multiplizieren.

Die Nicht-Sechs kann an drei verschiedenen Stellen stehen.

%%\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot3%%

Multiplikation.

%%=\frac{15}{216}\approx6,9\% %%

D: P{"Alle drei Würfel zeigen Sechs"}

P für "1 Sechs" %%=\frac16%%

Wahrscheinlichkeit der drei Würfel miteinander multiplizieren.

%%\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16=\left(\frac16\right)^3%%

Multiplikation.

%%=\frac1{216}\approx0,46\% %%