Aufgaben

Zwei gleichgute Fussballvereine treten gegeneinander an. Sieg und Niederlage sind daher gleich wahrscheinlich. Ein Unentschieden führt zu einer Verlängerung, bei der eine Entscheidung höchst wahrscheinlich eintritt. Ein Unentschieden tritt nur in %%\frac1{10}%% aller Spiele auf.

Zu text-exercise-group 3033:
mdt 2017-05-23 17:37:16
ich verstehe das "Demnach" nicht, das klingt als sei etwas gesagt, dass dann zu 1/10 führt. dem ist aber nicht so und verwirrt. es sollte besser neutral heissen "Es tritt ein ...".
Nish 2017-05-23 20:31:50
Vielen Dank für dein Feedback, mdt! Ich stimme dir voll zu und habe die Angabe bereits geändert. Ist das so deutlich genug? Ich würde mich über ein Feedback von dir freuen.
LG,
Nish
mdt 2017-05-24 07:20:31
ja, so klingt es gut - gradlinig und verständlich. danke!

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Verein A gewinnt?

%%\mathrm{P\{"Unentschieden"}\} =\frac1{10}=10\% %%

Bestimme das Gegenereignis.

%%\mathrm{P\left\{"kein\;Unentscheiden"\right\}}=\;1-\frac1{10}=\frac9{10}%%

Da beide Vereine die gleiche Wahrscheinlichkeit haben zu gewinnen, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass Verein A gewinnt, indem man die Wahrscheinlichkeit, dass kein Unentschieden auftritt durch 2 dividiert.

%%\mathrm{P\{"Verein \;A \;gewinnt"\}}=\frac9{10}:\;2=%%

Rechne aus.

%%=\frac9{20}=0,45=45\% %%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Verein A nicht verliert?

Aus einem Skat Blatt (32 Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

  1. 3 bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

  2. genau drei Buben?

  3. höchstens drei Buben?

Wir modellieren das Problem als Laplace-Experiment . Es gibt  %%\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}%% Möglichkeiten, 10 aus 32 Karten auszuwählen, d.h.  %%\left|\Omega\right|=\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}%%. Außerdem wissen wir, dass es 4 Buben gibt und 28 restliche Karten, die keine Buben sind.

Teilaufgabe a

%%\mathrm{P\left("3\;bestimmte\;Buben,\;aber\;nicht\;den\;vierten"\right)=}%%

Wähle die 3 bestimmten Buben aus und 7 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}%%.

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=\frac{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=\frac{1\cdot1184040}{64512240}=\frac{21}{3596}\approx1,84\% %%

Teilaufgabe b

%%\mathrm{P\left("genau\;3\;Buben"\right)=}%%

Wähle 3 der 4 Buben aus und 7 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}%% .

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=\frac{4\cdot1184040}{64512240}=\frac{66}{899}\approx7,34\% %%

Teilaufgabe c

%%\mathrm{P\left("höchstens\;3\;Buben"\right)=}%%

Der Einfachheit halber lösen wir diese Aufgabe mit Hilfe des Gegenereignisses.(Es gibt auch einen anderen Lösungsweg, der jedoch aufwändiger ist.)

%%=1-\mathrm{P\left("4\;Buben"\right)}%%

Wähle 4 der 4 Buben aus und 6 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}%% .

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=1-\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=1-\frac{1\cdot376740}{64512240}=1-\frac{21}{3596}=\frac{3575}{3596}\approx99,41\% %%

Ein „Teekenner“ behauptet, er könne die Teesorten First Flush (Begriff für Darjeeling- und Assam-Tees der ersten Pflückung nach dem Winter) und Second Flush (zweite Pflückung) am Geschmack unterscheiden. Er bekommt dazu einige Tassen vorgesetzt, wobei jede entweder First Flush oder Second Flush enthält. Äußerlich sind die verschiedenen Sorten nicht zu unterscheiden

  1. Der „Teekenner“ bekommt zwei Tassen vorgesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benennt er den Inhalt der beiden Tassen richtig, wenn er rät? Zeichne zunächst ein Baumdiagramm (%%R%% steht für "rät richtig", %%Rn=\overline R%% steht für "rät falsch)

  2. Der Test wird nun so abgeändert, dass der „Teekenner“ vier Tassen vorgesetzt bekommt. Er soll jeweils den Inhalt bestimmen. Erläutere, ob ihm deiner Meinung nach das Prädikat „Teekenner“ zu Recht zusteht, wenn er den Inhalt bei allen vier Tassen richtig zuordnet.

  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt der „Teekenner“ mindestens bei einer der vier Tassen daneben, falls er eine Treffsicherheit von 70 % hat?

Teilaufgabe 1:

Zeichne ein Baumdiagramm.

Baumdiagramm

%%\Rightarrow\;\;%% Gesucht ist das Ereignis "RR" und dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich ablesen: %%\frac14 =25\% %%.

Teilaufgabe 2:

Die Wahrscheinlichkeit, dass er den Inhalt einer Tasse richtig errät, beträgt %%\frac12%%. Dieses Experiment wird 4 mal wiederholt, also ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit als:

%%\left(\frac12\right)^4=0,0625=6,25\% %%

Es ergibt sich also eine äußerst geringe Gesamtwahrscheinlichkeit. Damit kann der Begriff "Kenner" in Frage gestellt werden, da bei einer erneuten Durchführung des Tests er höchstwahrscheinlich nicht alle Tassen richtig zuordnen könnte.

Teilaufgabe 3:

Bezeichne mit %%A=%% das Ereignis, dass er alle 4 Tassen richtig zuordnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit %%P(A)%%:

%%P\left(A\right)=0.7^4%%

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses %%\overline{A}%% von %%A%%, d.h. er kann nicht alle Tassen richtig zuordnen bzw. mindestens eine Tasse nicht.

%%\mathrm P(\overline{\mathrm A})=1-\mathrm P(\mathrm A)%%

Setze den ausgerechneten Wert ein.

%%\mathrm P(\overline{\mathrm A})=1-0.7^4\approx76\% %%

In den Spielregeln für ein Würfelspiel steht: „Man werfe beide Würfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die größtmögliche Zahl.“ (Beispiel: Bei den Augenzahlen „1“ und „5“ ist das die Zahl „51“.)

  1. Gib einen Ergebnisraum für dieses Spiel an und bestimme seine Mächtigkeit.

  2. Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an und bestimme jeweils ihre Wahrscheinlichkeit:

a) Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
b) Die Zahl enthält mindestens eine 4.
c) Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer
d) Die Quersumme der Zahl ist 6.
e) Die Zahl ist größer als 10.
f) Die Zahl ist eine Primzahl.

Teilaufgabe 1:

Gib den Ergebnisraum an, indem du alle möglichen Ergebnisse auflistest.

%%\Omega=\left\{11;21;31;41;51;61;22;32;42;52;62;33;43;53;63;44;54;64;55;65;66\right\}%%

Gib die Mächtigkeit an, indem du die Anzahl aller Elemente in %%\Omega%% ermittelst: %%\left|\Omega\right|=21%%

Teilaufgabe 2:

Unteraufgabe a):

Gib die Ergebnismenge an.

%%M=\left\{11;22;33;44;55;66\right\}%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit mittels Laplace.

%%\mathrm P=\frac{\left|\mathrm M\right|}{\left|\mathrm\Omega\right|}=\frac6{21}=\frac27\approx29\% %%

Unteraufgabe b):

Gib die Ergebnismenge an.

%%\mathrm N=\left\{41;42;43;44;54;64\right\}%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit mittels Laplace.

%%P=\frac6{21}=\frac27\approx29\% %%

Unteraufgabe c):

Gib die Ergebnismenge an.

%%M=\left\{21;42;63\right\}%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit mittels Laplace.

%%P=\frac3{21}=\frac17\approx14\% %%

Unteraufgabe d):

Gib die Ergebnismenge an.

%%M=\left\{51;42;33\right\}%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit mittels Laplace.

%%P=\frac3{21}=\frac17\approx14\% %%

Teilaufgabe e):

Da die kleinste Zahl im Ergebnissraum 11 ist, ist jede Zahl insbesondere größer als 10. Somit ist der Ergebnisraum %%\Omega%% und die Wahrscheinlichkeit 1:

%%M=\Omega%%

%%P=100\% %%

Teilaufgabe f):

Gib die Ergebnismenge an.

%%M=\left\{11;31;41;43;53;61\right\}%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit mittels Laplace.

%%P=\frac6{21}=\frac27\approx29\% %%

Thomas geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand einen Teddy schießen. Nüchtern hat er eine Treffsicherheit von 60%, nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um ein Drittel.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,

  1. wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2. Maß?

  2. wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1. Maß und dreimal nach der 2. Maß?

b) Wie oft muss er mindestens schießen, um mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen,

  1. wenn er noch nüchtern ist?

  2. wenn er eine Maß getrunken hat?

  3. wenn er zwei Maß getrunken hat?

Teilaufgabe a)

Unteraufgabe 1:

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: 0,6

Nach 1 Maß:  %%0,6-\left(\frac13\cdot0,6\right)=0,4%%

Nach 2 Maß:  %%0,4-\left(\frac13\cdot0,4\right)=\frac4{15}%%

%%\mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)=}%%

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen.

%%=1-\mathrm{P\left("kein\;Treffer"\right)}=%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas bei einem Schuss nicht trifft, berechnet man ebenfalls mit Hilfe des Gegenereignisses.

%%=1-\left[\left(1-0,6\right)\cdot\left(1-0,4\right)\cdot\left(1-\frac4{15}\right)\right]=%%

%%=1-\left[0,4\cdot0,6\cdot\frac{11}{15}\right]=%%

%%\approx0,824=82,4\% %%

Unteraufgabe 2:

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: 0,6

Nach 1 Maß:  %%0,6-\left(\frac13\cdot0,6\right)=0,4%%

Nach 2 Maß:  %%0,4-\left(\frac13\cdot0,4\right)=\frac4{15}%%

%%\mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)=}%%

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des  Gegenereignisses berechnen.

%%=\mathrm{1-P\left("kein\;Treffer"\right)}=%%

Wie oben berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas bei einem Schuss nicht trifft mit Hilfe des Gegenereignisses.

%%=1-\left[\left(1-0,4\right)\cdot\left(1-0,6\right)\cdot\left(1-0,6\right)\cdot\left(1-\frac{11}{15}\right)\cdot\left(1-\frac{11}{15}\right)\cdot\left(1-\frac{11}{15}\right)\right]=%%

%%=1-\left[0,6\cdot0,4\cdot0,4\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{4}{15}\cdot\frac{4}{15}\right]=%%

%%\approx0,998=99,8\% %%

Teilaufgabe b)

Wir bestimmen die kleinste natürliche Zahl n, so dass Thomas nach n Schüssen mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit trifft. Wie in Teilaufgabe a) verwenden wir dazu das Gegenereignis, d.h. wir berechnen diejenige kleinste natürliche Zahl n, so dass Thomas nach n Schüssen mit höchstens 1%iger Wahrscheinlichkeit noch nicht getroffen hat.

Teilaufgabe 1

Thomas ist nüchtern, d.h. 

%%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0,6}%%

Stelle die Behauptung auf.

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Formuliere das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq 0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-0,6\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(0,4\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(0,4\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(0,4\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(0,4\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\frac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,4\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx5,03%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%5,03%% ist.

%%\Rightarrow n=6%%

Thomas muss also mindestens 6-mal schießen.

Teilaufgabe 2:

Thomas hat 1 Maß getrunken,

d.h.  %%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0,4}%%

Stelle die Behauptung auf.

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Wir formulieren das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Th.\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getr."\right)\leq0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Th.\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-0,4\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(0,6\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(0,6\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(0,6\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(0,6\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\frac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,6\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx9,02%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%9,02%% ist.

%%\Rightarrow n=10%%

Thomas muss also mindestens 10-mal schießen.

Teilaufgabe 3:

Thomas hat zwei Maß getrunken,

d.h. %%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=\frac4{15}}%%

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Formuliere das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-\frac4{15}\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(\frac{11}{15}\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(\frac{11}{15}\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(\frac{11}{15}\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(\frac{11}{15}\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left({\displaystyle\frac{11}{15}}\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx14,85%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%14,85%% ist.

%%\Rightarrow n=15%%

Thomas muss also mindestens 15-mal schießen.

Malte hat drei Freunde, Andreas, Benjamin und Clemens. Andreas besucht Malte doppelt so oft wie Benjamin. Clemens dagegen besucht ihn nur halb so oft wie Benjamin. Es kommen nie zwei seiner Freunde gleichzeitig. Malte hört es an der Tür klingeln.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es

  1. Andreas

  2. Benjamin

  3. Clemens

  4. Andreas oder Benjamin?

Stelle die Terme für die jeweiligen Besuche der Freunde auf.

Besuche Benjamin = x

Besuche Andreas = 2x

Besuche Clemens = 0,5x

Teilaufgabe 1:

Besuche Benjamin = x

Besuche Andreas = 2x

Besuche Clemens = 0,5x

Dividiere die Besuche von Andreas durch die Summe aller Terme um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

%%\frac{2x}{3,5x}=%%

Kürze %%x%% und schreibe als Prozentzahl.

%%=\frac47\approx57\% %%

Teilaufgabe 2:

Besuche Benjamin = x

Besuche Andreas = 2x

Besuche Clemens = 0,5x

Dividiere die Besuche von Benjamin durch die Summe aller Terme um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

%%\frac{1x}{3,5x}=%%

Kürze %%x%% und schreibe als Prozentzahl.

%%=\frac27\approx29\% %%

Teilaufgabe 3:

Besuche Benjamin = x

Besuche Andreas = 2x

Besuche Clemens = 0,5x

Dividiere die Besuche von Clemens durch die Summe aller Terme um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

%%=\frac{0,5x}{3,5x}=%%

Kürze %%x%% und schreibe als Prozentzahl.

%%=\frac17\approx14\% %%

Teilaufgabe 4:

Wahrscheinlichkeit Benjamin = %%\frac27%%

Wahrscheinlichkeit Andreas = %%\frac47%%

Addiere die Wahrscheinlichkeiten von Andreas und Benjamin und schreibe als Prozentzahl.

%%\frac47+\frac27=\frac67\approx86\% %%

In einer Urne sind eine schwarze und drei weiße Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Ein Münzwurf entscheidet darüber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erhält man einen Gewinn.

  1. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

  2. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder 4 Kugeln sind – für die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschränkungen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, so dass die Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst groß wird? Begründe.

  3. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?

Gewinnwahrscheinlichkeit  Urne 1

Inhalt: 1 schwarze Kugel, 3 weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn

%%\frac14=%% Anteil der Schwarzen

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu erhalten.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne \;1)}=\frac14\cdot\frac12=\frac18%%

Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 2

Inhalt: 2 schwarze Kugeln, 2 weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn

%%\frac24=%% Anteil der Schwarzen

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 2 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne\;2)}=\frac24\cdot\frac12=\frac14%%

Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt

Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.

%%\mathrm{P(Gewinn\;insgesamt)}=\frac14+\frac18=%%

%%=\frac28+\frac18=\frac38=37,5\% %%

Insgesamt gibt es 3 schwarze Kugeln und 5 weiße. Sei %%x%% die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne 1 und %%y%% die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne 2. Dann lässt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit wie in Teilaufgabe 1 berechnen: 

%%\frac12\cdot\frac x4+\frac12\cdot\frac y4=\frac{x+y}8\underbrace=_{x+y=3}\frac38%%

Die Aufteilung auf die beiden Urnen spielt dabei keine Rolle.

Gegeben: 3 schwarze Kugeln; 5 weiße Kugeln

Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit ist am größten, wenn eine schwarze Kugel in der einen Urne (hier Urne 1) ist und alle restlichen Kugeln in der anderen Urne (hier Urne 2) sind.

Gewinnwahrscheinlichkeit  Urne 1

Inhalt: 1 schwarze Kugel

%%1=%% Anteil der Schwarzen.

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne \;1)}=1\cdot\frac12=\frac12%%

Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 2

Inhalt: 2 schwarze Kugeln; 5 weiße Kugeln

%%\frac27=%% Anteil der Schwarzen.

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne\;2)}=\frac27\cdot\frac12=\frac17%%

Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt

Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.

%%\mathrm{P(Gewinn\;insgesamt)}=\frac17+\frac12=%%

Bilde den Hauptnenner (hier 14) und erweitere auf diesen.

%%=\frac2{14}+\frac7{14}=\frac9{14}\approx64,3\% %%

Im Jahr 200X waren in Deutschland ungefähr 0,1 % der Bevölkerung mit HIV infiziert. Mit Hilfe eines HIV-Tests kann festgestellt werden, ob eine Infektion vorliegt. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis „positiv“, unabhängig davon, ob die Krankheit tatsächlich vorhanden ist oder nicht. Bei einer mit HIV infizierten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9 %, dass der Test positiv ausfällt. Wenn eine Person nicht infiziert ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,7 %, dass der Test „negativ“ ausfällt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis eines HIV-Tests „positiv“ ausfällt.

Der Arzt teilt ein positives Testergebnis mit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich infiziert ist?

Wir wählen als Bedingung B = "Arzt teilt positives Testergebnis mit"

Berechne die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit.

%%P_B\left(HIV+,Test+\right)=%%

Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.

%%=\frac{P\left(HIV+,Test+\right)}{P\left(HIV+,Test+\right)+P\left(HIV-,Test+\right)}=%%

Lese die Ergebnisse aus Aufgabe a) ab.

%%\frac{{\displaystyle\frac1{1000}}\cdot\displaystyle\frac{999}{1000}}{{\displaystyle\frac1{1000}}\cdot{\displaystyle\frac{999}{1000}}+{\displaystyle\frac{999}{1000}}\cdot\displaystyle\frac3{1000}}=%%

%%=\frac14=25\% %%

%%\Rightarrow\;\;%% Zu 25% ist die getestete Person tatsächlich infiziert.

Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint

a) keine Sechs,

b) genau eine Sechs,

c) höchstens eine Sechs,

d) mindestens eine Sechs?

Teilaufgabe a

Es erscheint keine Sechs.

Wahrscheinlichkeit keine Sechs zu Würfeln liegt bei %%\frac56%% %%=%% %%\frac{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{günstigen}\;\mathrm{Ergebnisse}}{\mathrm{Anzahl}\;\mathrm{aller}\;\mathrm{möglichen}\;\mathrm{Ergebnisse}}%%. Da dreimal gewürfelt wird, muss diese Wahrscheinlichkeit dreimal multipliziert werden.

%%P=\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56=%%

%%\approx\;0,58\;=\;58\% %%

Teilaufgabe b

Es erscheint genau eine Sechs.

Es ergibt sich Wahrscheinlichkeit %%\frac16%% für die gewürfelte %%6%% und %%\frac56\cdot\frac56%% für die beiden Fehlversuche.

Da die 6 in jedem der drei Würfe auftreten kann muss die Gesamtwahrscheinlichkeit noch mit %%3%% multipliziert werden.

%%P=\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\cdot3\;=%%

%%\approx\;0,347\;=\;35\% %%

Teilaufgabe c

Es erscheint höchstens eine Sechs.

"Höchstens eine Sechs" entspricht "entweder keine oder genau eine Sechs"

%%P=\underbrace{\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56}_{a)}+\underbrace{\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56\;\cdot3}_{b)}=%%

%%\;\approx\;0,926\;=\;93\% %%

Teilaufgabe d

Es erscheint mindestens eine Sechs.

"Mindestens eine Sechs" entspricht "Alles außer keine Sechs".

%%P=1-\underbrace{\frac56\cdot\frac56\cdot\frac56}_{a)}=%%

%%\approx\;0,42\;=\;42\% %%

Die Beliebtheit einer neuen Fernsehsendung wird untersucht. Folgende Ergebnisse der Umfrage werden veröffentlicht: 25 % der Zuschauer sind jünger als 20 Jahre; von diesen haben 70 % eine positive Meinung zur Sendung. Von den restlichen Zuschauern haben immerhin 40 % eine positive Meinung.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Zuschauer jünger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung?

Bezeichne die Ereignisse wie folgt:

%%J%%=Jünger als 20 Jahre, %%\overline J%% =Älter als 20 Jahre

%%M%%=positive Meinung, %%\overline M%% =negative Meinung

geg.:

%%P_J\left(M\right)=70\% %%

%%P_\overline J\left(M\right)=40\% %%

%%\mathrm P(\mathrm J)=25\% %%

ges.:%%\;P\left(J\cap M\right)%%

Verwende die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.

%%{\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm M\right)=\frac{\mathrm P\left(\mathrm J\cap\mathrm M\right)}{\mathrm P\left(\mathrm J\right)}%%   

%%\Rightarrow P\left(J\cap M\right)={\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm M\right)\cdot \mathrm P\left(\mathrm J\right) = 0,25\cdot0,7=17,5\% %%

%%\Rightarrow\;%% Ein zufällig ausgewählter Zuschauer ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 17,5% jünger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung?

Definiere die Ereignisse wie folgt:

%%J%% = Zuschauer ist jünger als 20 Jahre, %%\overline J%% = Zuschauer ist älter als 20 Jahre

%%M%% = Zuschauer hat eine positive Meinung, %%\overline M%% = Zuschauer hat keine positive Meinung

ges.: %%P\left(\overline M\right)%%

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung hat.

%%\Rightarrow%% sowohl die unter als auch die über 20 Jahre alten Personen müssen berücksichtigt werden.

%%P\left(\overline M\right)=P\left(J\cap\overline M\right)+P\left(\overline J\cap\overline M\right)=%%

Um die Wahrscheinlichkeit %%P\left(\overline M\right)%% zu erhalten, addiert man die Wahrscheinlichkeit, dass ein unter 20 Jahre alter Zuschauer die Sendung nicht mag und die Wahrscheinlichkeit, dass ein über 20 Jahre alter Zuschauer die Sendung nicht mag.

%%=0,075+0,45=0,525%%

%%\Rightarrow\;\;%% Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung hat beträgt 52,5%.

Susi und Max werfen gleichzeitig je einen Stein auf eine 10 m entfernte Pfütze. Susis Treffsicherheit beträgt 30 %, die von Max 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft mindestens ein Stein sein Ziel?

%%P("\mathrm{Max \;trifft \;nicht \;und \;Susi \;trifft"})=%%

%%=0,6\cdot0,3=0,18=18\% %%

%%\mathrm{P("Max \;trifft \;und \;Susi \;nicht")}=%%

%%=0,4\cdot0,7=0,28=28\% %%

%%\mathrm{P("Max \;trifft \;und \;Susi \;trifft")}=%%  

%%=0,4\cdot0,3=0,12=12\% %%

Wende die Pfadregeln an.

%%P("\mathrm{Mindestens}\;\mathrm{einer}")=\underbrace{18\%}_{\mathrm{nur Susi}}+\underbrace{28\%}_{\mathrm{nur Max}}+\underbrace{12\%}_{\mathrm{beide}}=58\% %%

Betrachte alternativ das Gegenereignis, dass keiner der beiden trifft und ziehe das Ergebnis von 1 ab.

Alternativ:

%%P(\mathrm{"Mindestens\;einer"})=1-0,6\cdot0,7=58\% %%

Baumdiagramm

Baumdiagramm

Ein Affe sitzt vor einem Laptop, dessen Tastatur nur die 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets enthält. Er schlägt wahllos 10mal auf eine beliebige Taste. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt er das Wort MATHEMATIK?

%%P("\mathrm{MATHEMATIK}")=\left(\frac1{26}\right)^{10}%%

Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Taste ist %%\frac1{26}%%. Der Nenner ändert sich nicht, da das Experiment bei jedem Schlag neu beginnt. Dies wird 10 mal wiederholt.

%%=7,083803739\cdot10^{-15}%%

Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede der Ziffern mehrmals vorkommen darf.

Beschreibe den Ablauf eines geeigneten Zufallsexperiments.

Als geeignetes Zufallsexperiment bietet sich das Drehen eines Glückrades mit 4 gleichgroßen Segmenten an. Dabei steht in jedem Segment eine Zahl zw. %%1%% und %%4%% und keine dieser Zahlen kommt doppelt vor.

Wenn du das Glücksrad nun viermal drehst und dir jedes Mal die gedrehte Zahl aufschreibst, erhälst du eine vierstellige Zahl, die zufällig gebildet wurde, und jede Ziffer zw. %%1%% und %%4%% kann auch mehrmals vorkommen.

Glücksrad

Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: Die Zahl enthält mindestens eine 2.
B: Die gebildete Zahl endet auf 2.

Teilaufgabe 1

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine %%2%% vorkommt.

Verwende das Gegenereignis.

%%P("mind.eine \ 2")%% %%=1-P("keine\;2")%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Es gilt: $$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{"keine 2"\}|}{|\Omega|}$$ Da keine %%2%% vorkommen soll, gibt es nur noch %%3%% Ziffern für die %%4%% stellige Zahl. Wie in Teilaufgabe b) erhälst du z.B. mithilfe eines Baumdiagramms, dass %%|A|=3^4%% ist.

%%|A|=|\{"keine 2"\}|=3^4%%

%%|\Omega|=4^4%% (Teilaufgabe b) )

%%\Rightarrow P("keine\;2")=\left(\frac34\right)^4%%

%%\Rightarrow P("mind.\;eine\;2")=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\approx0,68=68\% %%

Teilaufgabe 2

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gebildete vierstellige Zahl am Ende eine 2 enthält.

Es gilt:

%%P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\Omega|}%%

Die Mächtigkeit von %%\Omega%% wurde bereits in Teilaufgabe b) bestimmt. Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisses %%A%%, dass die vierstellige Zahl, eine %%2%% am Ende enthält.

Da der letzte Platz fix ist und die Ziffern mehrmals vorkommen können, können 4 Zahlen für 3 Plätze gewählt werden.

%%\Rightarrow |A|=4^3%%

Berechne nun %%P(A)%%.

%%P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\Omega|}=\frac{4^3}{4^4}=\frac14=0,25=25\% %%

Alternativ: Einfacher ist, zu erkennen, dass die %%3%% vorderen Stellen für die Lösung irrelevant sind. Eine Ziffer von 4 an einer Stelle zu wählen, hat eben einfach eine Wahrscheinlichkeit von %%25\% %%.

Kommentieren Kommentare

Kowalsky 2018-07-24 16:18:40
Hallo, Bei Aufgabe Nr.5 habe ich ein kleines Problem mit der Schreibweise: P("Thomas trifft nicht")^n .Ich würde hier die Schreibweise (P("Thomas trifft nicht"))^n bevorzugen. In der nächsten Zeile habe ich das P beseitigt von P(1-0,6)^n, denn (1-0,6)^n ist hier schon die Wahrscheinlichkeit .
Rebi 2018-07-25 20:37:38
Hallo Kowalsky,
ich stimme dir bei der Schreibweise zu. Danke auch für deine Bearbeitung.
Liebe Grüße,
Rebekka
Antwort abschicken
Kowalsky 2018-06-29 16:00:38
Zu Aufgabe Nr. 8. Hier ist das Baumdiagramm falsch: H-T-=(999/1000)*(997/1000)=(996003/1000000)
und H-T+ =(999/1000)*(3/1000)=(2997/1000000);( Reihenfolge der Faktoren beachten!). Bei H+T+ sollten die Faktoren vertauscht werden also (1/1000)*(999/1000).(Das Baumdiagramm kann ich nicht verbessern)
Antwort abschicken
GeneralMars 2018-04-14 15:21:26
Aufgabe Nr. 4
2)
c) Die Zehnerziffer ist halb so groß wie die Einerziffer.

Müsste es hier nicht andersherum sein, da, wenn die Zehnerziffer kleiner wäre, die Zahl kleiner ist als man sie machen könnte?
In der Lösung steht z.B. 21; hier ist doch die Einerziffer halb so groß wie die Zehnerziffer, oder?
Renate 2018-04-14 16:18:28
Ja, @GeneralMars, ich denke, da hast du recht, das ist / war falsch hier ;).

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zehnerziffer halb so groß ist wie die Einerziffer, müsste ja sogar 0 sein - die Zehnerziffer darf ja gar nicht kleiner sein als die Einerziffer, wenn die GRÖSSTMÖGLICHE Zahl aus den beiden Ziffern gebildet werden soll.

Ich habe in der früheren Version der Aufgabenstellung nachgesehen: Dort stand es ursprünglich auch anders. Da ist einem Bearbeiter wohl ein Denkfehler unterlaufen, sowas passiert eben ;).

Ich habe in Aufgabe c) den Text "Die Zehnerziffer ist halb so groß wie die Einerziffer. " wieder geändert zu "Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer. " wie es nicht früheren Version stand.

Danke für deinen Aufmerksamkeit! :)

Viele Grüße
Renate

PS: Ist nun alles richtig, oder hast du noch weitere Fehler gefunden?
Antwort abschicken