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Ein Getränkeautomat ist defekt. Jemand wirft 1 € ein. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er ein Getränk erhält, ist 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Apparat ein Getränk und den Euro wieder auswirft, ist %%\frac13%%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält, ist %%\frac16%%.

Gib einen Ergebnisraum an.

%%\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}%%  

Eine 1 bzw 0 an erster Stelle bedeutet, dass der Verbraucher das Getränk erhält bzw. nicht erhält

Eine 1 bzw 0 an zweiter Stelle steht für den Betrag den der Verbraucher zahlen muss.

%%\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}%% bedeutet also z.B., dass der Verbraucher ein Getränk erhält und der Automat den Euro wieder auswirft.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und es bezahlt hat?

Definiere die in der Aufgabe benannten Ereignisse:

G:= "Man erhält ein Getränk"

E:= "Man erhält den Euro wieder zurück"

Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:

%%P(G)=\frac12%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk erhält.

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Getränk und auch wieder den Euro bekommt.

%%P(\overline G\cap E)=\frac16%%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält.

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit:

%%P(G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk bekommt und dafür bezahlen muss, man das Geld also nicht wieder zurückbekommt.

Stelle die Vierfeldertafel auf:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\overline E%%

%%\frac12%%

%%1%%

Vervollständige die Vierfeldertafel:

%%G%%

%%\overline G%%

%%E%%

%%\frac13%%

%%\frac16%%

%%\frac12%%

%%\overline E%%

%%\frac16%%

%%\frac13%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%\frac12%%

%%1%%

Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:

%%P(G\cap\overline E)=\frac16%%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man weder ein Getränk erhält, noch seinen Euro zurückbekommt?

Gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben

#

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: %%P(\overline G\cap\overline E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man kein Getränk bekommt und der Automat den Euro behält.

%%G%% %%\overline G%%
%%E%% %%\frac{\mathbf1}{\mathbf3}%% %%\frac{\mathbf1}{\mathbf6}%% %%\frac12%%
%%\overline E%% %%\frac16%% %%\frac{\mathit1}{\mathit3}%% %%\frac12%%
%%\frac{\mathbf1}{\mathbf2}%% %%\frac12%% %%\mathbf1%%

Gesuchte Wahrscheinlichkeit ablesen

%%P(\overline G\cap\overline E)=\frac13%%

Man muss nur noch ablesen. Die eigentliche Arbeit wurde schon in Teilaufgabe b) erledigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk bekommt und trotzdem seinen Euro zurückbekommt?

Gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben

#

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: %%P(G\cap E)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränkt bekommt und den Euro zurückerhält.

%%P(G\cap E)=\frac13%%

Man erkennt, dass dies genau die Wahrscheinlichkeit ist, die in der Angabe steht.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man entweder ein Getränk erhält oder seinen Euro zurückbekommt?

Gesuchte Wahrscheinlichkeit angeben

#

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist: %%P\lbrack(G\cap\overline E)\;\cup\;(\overline G\cap E)\rbrack%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk erhält und dafür gezahlt hat oder kein Getränk erhält und man den Euro wieder bekommt.

Wahrscheinlichkeit umformulieren

%%P\lbrack(G\cap\overline E)\;\cup\;(\overline G\cap E)\rbrack=P(G\cap\overline E)+P(\overline G\cap E)%%

Dies ist so möglich, weil die Mengen %%(G\cap\overline E)%% und %%(\overline G\cap E)%% disjunkt sind.

Gesuchte Wahrscheinlichkeiten ablesen

%%G%% %%\overline G%%
%%E%% %%\frac{\mathbf1}{\mathbf3}%% %%\frac{\mathbf1}{\mathbf6}%% %%\frac12%%
%%\overline E%% %%\frac16%% %%\frac13%% %%\frac12%%
%%\frac{\mathbf1}{\mathbf2}%% %%\frac12%% %%\mathbf1%%

     

%%P\lbrack(G\cap\overline E)\cup(\overline G\cap E)\rbrack=P(G\cap\overline E)+P(\overline G\cap E)%% = %%\frac16+\frac16=\frac26=\frac13%%