An einem Berufskolleg werden alle 674 Schüler/innen befragt, ob sie rauchen oder nicht rauchen. Das Ergebnis der Befragung sieht wie folgt aus: 82 der insgesamt 293 Schüler (männlich) gaben an zu rauchen. 250 Schülerinnen gaben an, nicht zu rauchen.

Zu text-exercise-group 11199:
Nish 2018-03-31 18:59:06
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Alle Teilaufgaben sollten noch bei Gelegenheit nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer 4-Feldtafel da. Verwenden Sie die Ereignisse (mit ihren Gegenereignissen):

A: Die Person ist männlich.

B: Die Person ist Raucher

Stelle für die Ereignisse %%A%% und %%B%% sowie die Gegenereignisse %%\overline A%% und %%\overline B%% eine Vierfeldtafel auf.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & & & \\ \hline \mathrm{\overline B} & & & \\ \hline \ & & & \\ \end{array}$$

Trage die Informationen aus der Aufgabenstellung in die Vierfeldtafel ein.

  • %%A \cap B%%: 82
  • %%A%%: 293
  • %%\overline A \cap \overline B%%: 250
  • Gesamtanzahl Schüler/innen: 674

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & & \\ \hline \mathrm{\overline B} & & 250 & \\ \hline \ & 293 & & 674\\ \end{array}$$

Ergänze die fehlenden Informationen und trage sie in die Vierfeldtafel ein.

  • %%A \cap \overline B%%: 293 - 82 = 211
  • %%B%%: 674 - 293 = 381

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & & \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Ergänze die restlichen fehlenden Informationen und trage sie in die Vierfeldtafel ein.

  • %%\overline A \cap B%%: 381 - 250 = 131
  • %% \overline B%%: 211 + 250 = 461

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Ergänze die letzte Spalte %%B%%.
Prüfe, ob das gleiche herauskommt, wenn du von der Gesamtanzahl %%\overline B%% abziehst und wenn du %%B \cap A%% und %%B \cap \overline A%% addierst.

  • %%B%%: 674- 461 = 213
  • %%B%%: 82 + 131 = 213

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?

Bestimme Wahrscheinlichkeit aus relativer Häufigkeit

Ereignis definieren

Die gesuchten Eigenschaften sind die Kombination Ereignisse

  • %%\overline A%%: Person ist weiblich
  • %%\overline B%%: Person ist nicht Raucher(in)

Suche also nach dem Ereignis %%\overline A \cap \overline B%%.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Lese die Anzahl der Ereignisse %%\overline A \cap \overline B%% und die Gesamtanzahl von Ereignissen in der Tabelle ab.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & \mathbf{250} & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & \mathbf{674}\\ \end{array}$$

Berechne nun die relative Häufigkeit, indem du die Anzahl der Ereignisse %%\overline A \cap \overline B%% durch die Gesamtanzahl von Ereignissen teilst.

$$P(\overline A \cap \overline B) = \frac{250}{674} = 0,37$$

Ergebnis

Die relative Häufigkeit der weiblichen Nichtraucherinnen gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin ist.

Sie beträgt 37 %.

Der Schulleiter sieht eine Schülerin im Aufenthaltsraum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Schülerin Nichtraucherin?

Bestimme bedingte Wahrscheinlichkeit

Es ist bereits bekannt, dass es sich bei der Person um eine Schülerin handelt. Das Ereignis %%\overline A%% ist also bereits vorgegeben.
Nun bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person nicht raucht (%%\overline B%%), wenn bereits bekannt ist, dass die Person weiblich ist (%%\overline A%%).

Schreibe die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit %%P_{\overline A} (\overline B)%%.

$$P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline A)}$$

Stelle die Vierfeldtafel zur Aufgabe auf

Schreibe die befüllte Vierfeldtafel zur Aufgabenstellung auf.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Lese die Anzahl der Ereignisse %%\overline A \cap \overline B%%, %%\overline A%% und die Gesamtanzahl der Ereignisse ab, um die relativen Häufigkeiten zu bestimmen.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & \mathbf{250} & 461 \\ \hline \ & 293 & \mathbf{381} & \mathbf{674}\\ \end{array}$$

Gebe die Wahrscheinlichkeiten %%P(\overline A \cap \overline B)%% und %%P(\overline A)%% an.

$$P(\overline A \cap \overline B) =\frac{250}{674} = 0,37$$ $$P(\overline A ) =\frac{381}{674} = 0,57$$

Berechne nun die bedingte Wahrscheinlichkeit

$$P_{\overline A} (\overline B) = \frac{P(\overline A \cap \overline B)}{P(\overline A)} = \frac{\frac{250}{674}}{\frac{381}{674}} = \frac{250}{381} = 0,66$$

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Schülerin um eine Raucherin handelt, ist 66 %.

Beachte, dass hier etwas anderes gefragt wurde als bei der Frage "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Person weiblich und Nichtraucherin?".

Untersuchen Sie, ob das Ereignis "männlich" und das Ereignis "Raucher" voneinander abhängige Ereignisse sind.

Prüfe Unabhängigkeit von Ereignissen

Zwei Ereignisse %%A%% und %%B%% heißen stochastisch abhängig, wenn gilt:
%%P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B).%%

Stelle Vierfeldtafel auf

Erstelle eine Vierfeldtafel für die in der Aufgabenstellung beschriebene Situation.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & 82 & 131 & 213 \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & 293 & 381 & 674\\ \end{array}$$

Lese aus Vierfeldtafel die Anzahl der Ereignisse %%A%%, %%B%%, %%A \cap B%% und die Gesamtanzahl der Ereignisse ab.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \ & \quad \mathrm{A} \quad& \quad\mathrm{\overline A} \quad& \ \\ \hline \mathrm{B} & \mathbf{82} & 131 & \mathbf{213} \\ \hline \mathrm{\overline B} & 211 & 250 & 461 \\ \hline \ & \mathbf{293} & 381 & \mathbf{674}\\ \end{array}$$

Gib die relativen Häufigkeiten und somit die Wahrscheinlichkeiten %%P(A)%%, %%P(B)%% und %%P(A \cap B)%% an.

$$P(A) = \frac{293}{674} = 0,43$$ $$P(B) = \frac{213}{674} = 0,32$$ $$P(A \cap B) = \frac{82}{674} = 0,12$$

Prüfe nun, ob die Ereignisse unabhängig sind.

%%P(A) \cdot P(B) = \frac{293 \cdot 213}{674^2} = \frac{62409}{454276} = 0,14%%
%% \neq 0,12 = P(A \cap B)%%

Ergebnis

Die Ergebnisse "männlich" und "Raucher" sind stochastisch voneinander abhängig.