Die Beliebtheit einer neuen Fernsehsendung wird untersucht. Folgende Ergebnisse der Umfrage werden veröffentlicht: 25 % der Zuschauer sind jünger als 20 Jahre; von diesen haben 70 % eine positive Meinung zur Sendung. Von den restlichen Zuschauern haben immerhin 40 % eine positive Meinung.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Zuschauer jünger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung?

Bezeichne die Ereignisse wie folgt:

%%J%%=Jünger als 20 Jahre, %%\overline J%% =Älter als 20 Jahre

%%M%%=positive Meinung, %%\overline M%% =negative Meinung

geg.:

%%P_J\left(M\right)=70\% %%

%%P_\overline J\left(M\right)=40\% %%

%%\mathrm P(\mathrm J)=25\% %%

ges.:%%\;P\left(J\cap M\right)%%

Verwende die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.

%%{\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm M\right)=\frac{\mathrm P\left(\mathrm J\cap\mathrm M\right)}{\mathrm P\left(\mathrm J\right)}%%   

%%\Rightarrow P\left(J\cap M\right)={\mathrm P}_\mathrm J\left(\mathrm M\right)\cdot \mathrm P\left(\mathrm J\right) = 0,25\cdot0,7=17,5\% %%

%%\Rightarrow\;%% Ein zufällig ausgewählter Zuschauer ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 17,5% jünger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung?

Definiere die Ereignisse wie folgt:

%%J%% = Zuschauer ist jünger als 20 Jahre, %%\overline J%% = Zuschauer ist älter als 20 Jahre

%%M%% = Zuschauer hat eine positive Meinung, %%\overline M%% = Zuschauer hat keine positive Meinung

ges.: %%P\left(\overline M\right)%%

 

Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung hat.

%%\Rightarrow%% sowohl die unter als auch die über 20 Jahre alten Personen müssen berücksichtigt werden.

%%P\left(\overline M\right)=P\left(J\cap\overline M\right)+P\left(\overline J\cap\overline M\right)=%%

Um die Wahrscheinlichkeit %%P\left(\overline M\right)%% zu erhalten, addiert man die Wahrscheinlichkeit, dass ein unter 20 Jahre alter Zuschauer die Sendung nicht mag und die Wahrscheinlichkeit, dass ein über 20 Jahre alter Zuschauer die Sendung nicht mag.

%%=0,075+0,45=0,525%%

%%\Rightarrow\;\;%% Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung hat beträgt 52,5%.