In einer Urne sind eine schwarze und drei weiße Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Ein Münzwurf entscheidet darüber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erhält man einen Gewinn.

  1. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

  2. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder 4 Kugeln sind – für die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschränkungen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, so dass die Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst groß wird? Begründe.

  3. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?

Gewinnwahrscheinlichkeit  Urne 1

Inhalt: 1 schwarze Kugel, 3 weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn

%%\frac14=%% Anteil der Schwarzen

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu erhalten.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne \;1)}=\frac14\cdot\frac12=\frac18%%

Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 2

Inhalt: 2 schwarze Kugeln, 2 weiße Kugeln; Schwarze ist Gewinn

%%\frac24=%% Anteil der Schwarzen

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 2 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne\;2)}=\frac24\cdot\frac12=\frac14%%

Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt

Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.

%%\mathrm{P(Gewinn\;insgesamt)}=\frac14+\frac18=%%

%%=\frac28+\frac18=\frac38=37,5\% %%

Insgesamt gibt es 3 schwarze Kugeln und 5 weiße. Sei %%x%% die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne 1 und %%y%% die Anzahl schwarzer Kugeln in Urne 2. Dann lässt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit wie in Teilaufgabe 1 berechnen: 

%%\frac12\cdot\frac x4+\frac12\cdot\frac y4=\frac{x+y}8\underbrace=_{x+y=3}\frac38%%

Die Aufteilung auf die beiden Urnen spielt dabei keine Rolle.

Gegeben: 3 schwarze Kugeln; 5 weiße Kugeln

Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit ist am größten, wenn eine schwarze Kugel in der einen Urne (hier Urne 1) ist und alle restlichen Kugeln in der anderen Urne (hier Urne 2) sind.

Gewinnwahrscheinlichkeit  Urne 1

Inhalt: 1 schwarze Kugel

%%1=%% Anteil der Schwarzen.

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne \;1)}=1\cdot\frac12=\frac12%%

Gewinnwahrscheinlichkeit Urne 2

Inhalt: 2 schwarze Kugeln; 5 weiße Kugeln

%%\frac27=%% Anteil der Schwarzen.

%%\frac12=%% Wahrscheinlichkeit Urne 1 zu werfen.

Multipliziere die beiden Werte.

%%\mathrm{P(Gewinn\;Urne\;2)}=\frac27\cdot\frac12=\frac17%%

Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt

Addiere die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Urne 1 und Urne 2.

%%\mathrm{P(Gewinn\;insgesamt)}=\frac17+\frac12=%%

Bilde den Hauptnenner (hier 14) und erweitere auf diesen.

%%=\frac2{14}+\frac7{14}=\frac9{14}\approx64,3\% %%