Thomas geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand einen Teddy schießen. Nüchtern hat er eine Treffsicherheit von 60%, nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um ein Drittel.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,

  1. wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2. Maß?

  2. wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1. Maß und dreimal nach der 2. Maß?

b) Wie oft muss er mindestens schießen, um mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen,

  1. wenn er noch nüchtern ist?

  2. wenn er eine Maß getrunken hat?

  3. wenn er zwei Maß getrunken hat?

Teilaufgabe a)

Unteraufgabe 1:

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: 0,6

Nach 1 Maß:  %%0,6-\left(\frac13\cdot0,6\right)=0,4%%

Nach 2 Maß:  %%0,4-\left(\frac13\cdot0,4\right)=\frac4{15}%%

%%\mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)=}%%

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen.

%%=1-\mathrm{P\left("kein\;Treffer"\right)}=%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas bei einem Schuss nicht trifft, berechnet man ebenfalls mit Hilfe des Gegenereignisses.

%%=1-\left[\left(1-0,6\right)\cdot\left(1-0,4\right)\cdot\left(1-\frac4{15}\right)\right]=%%

%%=1-\left[0,4\cdot0,6\cdot\frac{11}{15}\right]=%%

%%\approx0,824=82,4\% %%

Unteraufgabe 2:

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: 0,6

Nach 1 Maß:  %%0,6-\left(\frac13\cdot0,6\right)=0,4%%

Nach 2 Maß:  %%0,4-\left(\frac13\cdot0,4\right)=\frac4{15}%%

%%\mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)=}%%

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des  Gegenereignisses berechnen.

%%=\mathrm{1-P\left("kein\;Treffer"\right)}=%%

Wie oben berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass Thomas bei einem Schuss nicht trifft mit Hilfe des Gegenereignisses.

%%=1- \left[ \left(1-0,6\right) \cdot\left(1-0,4\right) \cdot\left(1-0,4\right) \cdot\left(1-\frac{4}{15}\right) \cdot\left(1-\frac{4}{15}\right) \cdot\left(1-\frac{4}{15}\right) \right]=%%

%%=1- \left[ 0,4 \cdot0,6 \cdot0,6 \cdot\frac{11}{15} \cdot\frac{11}{15} \cdot\frac{11}{15} \right]%%

%%\approx0,943=94,3\% %%

Teilaufgabe b)

Wir bestimmen die kleinste natürliche Zahl n, so dass Thomas nach n Schüssen mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit trifft. Wie in Teilaufgabe a) verwenden wir dazu das Gegenereignis, d.h. wir berechnen diejenige kleinste natürliche Zahl n, so dass Thomas nach n Schüssen mit höchstens 1%iger Wahrscheinlichkeit noch nicht getroffen hat.

Teilaufgabe 1

Thomas ist nüchtern, d.h. 

%%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0,6}%%

Stelle die Behauptung auf.

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Formuliere das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq 0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-0,6\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(0,4\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(0,4\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(0,4\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(0,4\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\frac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,4\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx5,03%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%5,03%% ist.

%%\Rightarrow n=6%%

Thomas muss also mindestens 6-mal schießen.

Teilaufgabe 2:

Thomas hat 1 Maß getrunken,

d.h.  %%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0,4}%%

Stelle die Behauptung auf.

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Wir formulieren das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Th.\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getr."\right)\leq0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Th.\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-0,4\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(0,6\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(0,6\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(0,6\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(0,6\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\frac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,6\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx9,02%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%9,02%% ist.

%%\Rightarrow n=10%%

Thomas muss also mindestens 10-mal schießen.

Teilaufgabe 3:

Thomas hat zwei Maß getrunken,

d.h. %%\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=\frac4{15}}%%

%%\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0,99}%%

Formuliere das Ereignis um.

%%\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq0,01}%%

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

%%\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0,01}%%

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

%%\Leftrightarrow \left(1-\frac4{15}\right)^n\leq0,01%%

%%\Leftrightarrow\left(\frac{11}{15}\right)^n\leq0,01%%

Löse nach n auf.

%%\Leftrightarrow\ln\left(\frac{11}{15}\right)^n\leq\ln\left(0,01\right)%%

Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.

%%\Leftrightarrow n\cdot\ln\left(\frac{11}{15}\right)\leq\ln\left(0,01\right)%%

Da  %%\ln\left(\frac{11}{15}\right)<0%% ändert sich das Ungleichheitszeichen.

%%\Leftrightarrow n\geq\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left({\displaystyle\frac{11}{15}}\right)}%%

%%\Leftrightarrow n\approx14,85%%

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als %%14,85%% ist.

%%\Rightarrow n=15%%

Thomas muss also mindestens 15-mal schießen.