Aus einem Skat Blatt (32 Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

  1. 3 bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

  2. genau drei Buben?

  3. höchstens drei Buben?

Wir modellieren das Problem als Laplace-Experiment . Es gibt  %%\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}%% Möglichkeiten, 10 aus 32 Karten auszuwählen, d.h.  %%\left|\Omega\right|=\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}%%. Außerdem wissen wir, dass es 4 Buben gibt und 28 restliche Karten, die keine Buben sind.

Teilaufgabe a

%%\mathrm{P\left("3\;bestimmte\;Buben,\;aber\;nicht\;den\;vierten"\right)=}%%

Wähle die 3 bestimmten Buben aus und 7 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}%%.

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=\frac{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=\frac{1\cdot1184040}{64512240}=\frac{21}{3596}\approx1,84\% %%

Teilaufgabe b

%%\mathrm{P\left("genau\;3\;Buben"\right)=}%%

Wähle 3 der 4 Buben aus und 7 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}%% .

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=\frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=\frac{4\cdot1184040}{64512240}=\frac{66}{899}\approx7,34\% %%

Teilaufgabe c

%%\mathrm{P\left("höchstens\;3\;Buben"\right)=}%%

Der Einfachheit halber lösen wir diese Aufgabe mit Hilfe des Gegenereignisses.(Es gibt auch einen anderen Lösungsweg, der jedoch aufwändiger ist.)

%%=1-\mathrm{P\left("4\;Buben"\right)}%%

Wähle 4 der 4 Buben aus und 6 der restlichen 28 Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse  %%\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}%% .

Für Laplace-Experimente gilt  %%P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}%%

%%=1-\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}=%%

Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.

%%=1-\frac{1\cdot376740}{64512240}=1-\frac{21}{3596}=\frac{3575}{3596}\approx99,41\% %%