In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
geg: n=20,  p=13,  k=10n=20,\;p=\frac13,\;k=10
Wende die Formel für den Binomialkoeffizienten an:
P=(2010)(13)10(113)2010P=\begin{pmatrix}20\\10\end{pmatrix}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}
=20!10!(2010)!(13)10(113)2010=\frac{20!}{10!\left(20-10\right)!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(1-\frac13\right)^{20-10}
=20!10!10!(13)10(23)10=\frac{20!}{10!\cdot10!}\cdot\left(\frac13\right)^{10}\cdot\left(\frac23\right)^{10}
0,054265,4%\approx0,05426\approx5,4\% 
\Rightarrow Zu 5,4%5,4\% beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.