In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden. Der Erwartungswert ist 44.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Varianz

Varianz

Die Wahrscheinlichkeit 2, 3, 4, 5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen, berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich, keine oder nur eine weiße Kugel zu ziehen.
Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße XX kombinatorisch berechnen.
  • P(X=2)=(82)(44)(126)=133\displaystyle P(X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}.
  • P(X=3)=(83)(43)(126)=833\displaystyle P(X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}.
  • P(X=4)=(84)(42)(126)=1533\displaystyle P(X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}.
  • P(X=5)=(85)(41)(126)=833\displaystyle P(X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}.
  • P(X=6)=(86)(40)(126)=133\displaystyle P(X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}.
Berechne nun die Varianz mit der Formel:
V(X)=i=1nP(X=xi)(xiμ)2\displaystyle V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2
Setz die Werte ein.
=133(24)2+833(34)2+1533(44)2+833(54)2+133(64)2\displaystyle =\frac1{33}\cdot(2-4)^2+\frac8{33}\cdot(3-4)^2+\frac{15}{33}\cdot(4-4)^2\\+\displaystyle\frac8{33}\cdot(5-4)^2+\frac1{33}\cdot(6-4)^2
Vereinfache.
=811=0,72=\displaystyle\frac{8}{11}=0{,}\overline{72}
Die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl gezogener weißer Kugeln ist also etwa 0,73.