Aufgaben

Berechne die Varianz der gegebenen Zufallsvariable.

Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder. Der Erwartungswert ist %%3,5%%.

Hier ist %%Ω={1,2,3,4,5,6}%%, %%X(ω)=ω%% und %%\displaystyle P(X=x_i)=\frac16%%.

Benutze die Formel für die Varianz:

%%\displaystyle\text V(X) = \sum\limits_{i=1}^{n} = P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle =\frac16\cdot(1-3,5)^2+\frac16\cdot(2-3,5)^2+\frac16\cdot(3-3,5)^2+\frac16\cdot(4-3,5)^2+\frac16\cdot(5-3,5)^2+\frac16\cdot(6-3,5)^2%%

Vereinfache.

%%\displaystyle=\frac{35}{12}\approx2,92%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 2,92.

Bei einer Wette wird eine Münze geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt des Gewinn bei einem Münzwurf an. Der Erwartungswert ist %%-0,5%%.

Hier ist %%Ω={K,Z}%%, %%X(ω)=\cases{5,& für ω=K\\-6, &für ω=Z}%% und %%P(X=x_i)%% jeweils %%\displaystyle\frac12%%.

Benutz die Formel für die Varianz.

%%\displaystyle\text V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)⋅(x_i−μ)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle=\frac12\cdot(5-(-0,5))^2+\frac12(-6-(-0,5))^2%%

Vereinfache.

%%=30,25%%

Die mittlere quadratische Abweichung des Gewinns bei diesem Glücksspiel ist also 30,25.

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist. Der Erwartungswert ist %%3,\overline3%%.

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Die Varianz einer Bernoulli-Kette beträgt %%n⋅p\cdot(1-p)%%. Hier ist %%n=20%% und %%p%% die Wahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Wurf eine 3 zu werfen, also %%\displaystyle\frac16%%.

%%\text V(X)=n\cdot p\cdot (1-p)%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle= 20 \cdot \frac16 \cdot \frac56%%

Vereinfache.

%%\displaystyle = \frac{100}{36}= 2,\overline7%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Häufigkeit eine "3" bei 20 Würfen zu würfeln ist also etwa 2,78.

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden. Der Erwartungswert ist %%4%%.

Die Wahrscheinlichkeiten 2,3,4,5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich 0 oder 1 weiße Kugel zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße %%\text X%% kombinatorisch berechnen.

  • %%\displaystyle\text P(\text X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle\text P(\text X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.

Berechne nun die Varianz mit der Formel:

%%\displaystyle \text V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle =\frac1{33}\cdot(2-4)^2+\frac8{33}\cdot(3-4)^2+\frac{15}{33}\cdot(4-4)^2\\+\displaystyle\frac8{33}\cdot(5-4)^2+\frac1{33}\cdot(6-4)^2%%

Vereinfache.

%%=\displaystyle\frac{8}{11}=0,\overline{72}%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl gezogener weißer Kugeln ist also etwa 0,73.

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