Aufgaben

Berechne die Varianz der gegebenen Zufallsvariable.

Zu text-exercise-group 13863:
Nish 2019-08-04 18:09:01
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Alle Lösungen sollte mal nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen überarbeitet werden. Zum Beispiel werden Überschriften nicht mehr verlinkt. Das wäre super!

LG,
Nish
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Zu text-exercise-group 13863:
Nish 2019-08-04 18:08:49
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LG,
Nish
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Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder. Der Erwartungswert ist %%3{,}5%%.

Hier ist %%\mathit\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}%%, %%X(ω)=ω%% und %%\displaystyle P(X=x_i)=\frac16%%.

Benutze die Formel für die Varianz:

%%\displaystyle V(X) = \sum\limits_{i=1}^{n} = P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle =\frac16\cdot(1-3{,}5)^2+\frac16\cdot(2-3{,}5)^2+\frac16\cdot(3-3{,}5)^2+\frac16\cdot(4-3{,}5)^2+\frac16\cdot(5-3{,}5)^2+\frac16\cdot(6-3{,}5)^2%%

Vereinfache.

%%\displaystyle=\frac{35}{12}\approx2{,}92.%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 2,92.

Bei einer Wette wird eine Münze geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an. Der Erwartungswert ist %%-0{,}5%%.

Hier ist %%\mathit\Omega=\{\mathrm K,\mathrm Z\}%%, %%X(\omega)=\begin{cases}5&\text{für }\omega=\mathrm K\\-6&\text{für }\omega=\mathrm Z\end{cases}%% und %%P(X=x_i)%% jeweils %%\displaystyle\frac12%%.

Benutz die Formel für die Varianz.

%%\displaystyle V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)⋅(x_i−\mu)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle=\frac12\cdot(5-(-0{,}5))^2+\frac12(-6-(-0{,}5))^2%%

Vereinfache.

%%=30{,}25%%

Die mittlere quadratische Abweichung des Gewinns bei diesem Glücksspiel ist also 30,25.

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist. Der Erwartungswert ist %%3{,}\overline3%%.

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Die Varianz einer Bernoulli-Kette beträgt %%n⋅p\cdot(1-p)%%. Hier ist %%n=20%% und %%p%% die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf eine Drei zu werfen, also %%\displaystyle\frac16%%.

%%V(X)=n\cdot p\cdot (1-p)%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle= 20 \cdot \frac16 \cdot \frac56%%

Vereinfache.

%%\displaystyle = \frac{100}{36}= 2{,}\overline7%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Häufigkeit, eine Drei bei 20 Würfen zu würfeln, ist also etwa 2,78.

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden. Der Erwartungswert ist %%4%%.

Die Wahrscheinlichkeit 2, 3, 4, 5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen, berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich, keine oder nur eine weiße Kugel zu ziehen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten

Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße %%X%% kombinatorisch berechnen.

  • %%\displaystyle P(X=2)=\frac{\binom82\cdot\binom44}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.
  • %%\displaystyle P(X=3)=\frac{\binom83\cdot\binom43}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle P(X=4)=\frac{\binom84\cdot\binom42}{\binom{12}6}=\frac{15}{33}%%.
  • %%\displaystyle P(X=5)=\frac{\binom85\cdot\binom41}{\binom{12}6}=\frac8{33}%%.
  • %%\displaystyle P(X=6)=\frac{\binom86\cdot\binom40}{\binom{12}6}=\frac1{33}%%.

Berechne nun die Varianz mit der Formel:

%%\displaystyle V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n} P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2%%

Setz die Werte ein.

%%\displaystyle =\frac1{33}\cdot(2-4)^2+\frac8{33}\cdot(3-4)^2+\frac{15}{33}\cdot(4-4)^2\\+\displaystyle\frac8{33}\cdot(5-4)^2+\frac1{33}\cdot(6-4)^2%%

Vereinfache.

%%=\displaystyle\frac{8}{11}=0{,}\overline{72}%%

Die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl gezogener weißer Kugeln ist also etwa 0,73.

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