In einem Freizeitpark wird folgendes Glücksspiel angeboten. In einer Urne befinden sich 10 Lose, wobei sich auf 5 Losen der Aufdruck "Niete" und auf dem Rest der Aufdruck "Gewinn" befindet. Gegen einen Einsatz von 2€ kann ein Spieler an folgendem Gewinnspiel teilnehmen: Der Spieler zieht aus der Urne ein Los, zieht er "Gewinn", darf er erneut ziehen, zieht er Niete, hat er sofort verloren. Um zu gewinnen muss er insgesamt dreimal "Gewinn" ziehen. Den Gewinn in Höhe von 8€ erhält er, wenn seine drei Gewinnerlose an der Kasse des Freizeitparks abgibt.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler? Runde auf eine Stelle nach dem Komma.

  2. Wie hoch muss der Gewinn sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?

Teilaufgabe 1

Der Spieler gewinnt nur, falls er dreimal hintereinander "Gewinn" zieht. Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da der Spieler am Ende des Spieles seine drei Gewinnerlose vorzeigen muss. Daher ist die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug einen "Gewinn" zu ziehen %%\frac{5}{10}%%, beim zweiten Zug %%\frac{4}{9}%% und beim dritten Zug %%\frac3{8}%%. Um die Gewinnwahrscheinlichkeit auszurechnen, musst du diese Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

%%\mathrm{P("Gewinn")}=\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720}=\frac{1}{12}\approx 8,3\% %%

Alternative Rechnung

Der Spieler muss aus den 5 Gewinn-Losen 3 ziehen. Dafür gibt es %%\binom53%% Möglichkeiten. Teile diese durch die Gesamtanzahl an Möglichlkeiten 3 Lose aus 10 zu ziehen und du erhälst die Wahrscheinlichkeit für 3 Gewinn-Lose.

%%\displaystyle\frac{\binom53}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{12}\approx8,3\% %%

Teilaufgabe 2

Das Spiel ist dann fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers 2€ ist. Denn in diesem Fall erhält der Spieler seinen Einsatz von 2€ zurück und macht keinen Verlust, genauso wie der Anbieter des Spieles.

Um den Erwartungswert auszurechnen, braucht man nur den Fall betrachten, dass der Spieler dreimal "Gewinn" zieht, denn nur hier hat er einen Gewinn. In den anderen Fällen ist der Gewinn 0 und dementsprechend muss die Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnet werden, da sie bei Berechnung des Erwartungswertes mit 0 multipliziert werden würde. Bezeichne mit %%\text X%% die Zufallsgröße, die den Gewinn des Spieles angibt, d.h. entweder 0 (kein Gewinn) oder y (Gewinn). Nach der Formel für den Erwartungswertes gilt dann:

%%E(X)= 0 \cdot P(X=0) + y \cdot P(X=y)%%

%%P(X=y)%% ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn, sie wurde in Teilaufgabe 1 berechnet.

%%= y \cdot \frac 1{12}%%

Setze den Erwartungswert gleich 2 und löse nach y auf.

%%2= y \cdot \frac 1{12}%%

%%\Rightarrow y=24%%

Also müsste der Gewinn 24€ betragen, um ein faires Spiel zu erhalten.