Zwei Würfel auf deren Seiten 3 mal die eins und 3 mal die Zahl zwei vorkommt werden geworden. Die Zufallsgröße X soll die Augensumme beschreiben und die Zufallsgröße Y das Produkt der Augenzahlen.
a) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und Y an.
b) Berechne die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen.
c) Berechne Varianz und Standardabweichung der beiden Zufallsvariablen.

Teilaufgabe a)

1.Zur Zufallsgröße X:

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X zu bestimmen, überlege dir erst welche Werte X überhaupt annehmen kann. Die Augenzahl der beiden Würfel kann den Wert 2,3 und 4 annehmen. Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

P(X=2)=%%\frac14%%

Begründung

Damit die Augensumme 2 herauskommt gibt es nur eine Möglichkeit: beide Würfel müssen eine 1 zeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine 1 zeigt ist %%\dfrac{1}{2}%%, deswegen ist P(X=2)= %%\frac14%%.

P(X=3)=%%\frac24%%

Begründung

Damit die Augesumme 3 herauskommt gibt es zwei Möglichkeiten, ein Würfel muss die 1 und ein Würfel muss die 2 zeigen, aber man kann die Würfel noch vertauschen; also ist P(X=3)= %%\frac24%%.

P(X=4)=%%\frac14%%

Begründung

Hierfür gibt es wieder nur eine Möglichkeit: beide Würfel müssen die Augenzahl 2 zeigen, also ist die Wahrscheinlichkeit P(X=4)= %%\frac14%%.

2.Zur Zufallsgröße Y:

Überlege dir wieder welche Werte Y überhaupt annehmen kann. Y kann nur die Werte 1,2 und 4 annehmen.

Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:

P(Y=1)= %%\frac14%%

Begründung

Damit das Produkt der beiden Würfel 1 ergibt müssen beide Würfel eine 1 aufzeigen, wofür die Wahrscheinlichkeit %%\frac14%% ist.

P(Y=2)=%%\frac 12%%

Begründung

Damit das Produkt der Augenzahlen zwei ergibt, muss ein Würfel eine 1 zeigen und der andere eine 2. Die Würfel dürfen aber noch vertrauscht werden, also gibt es zwei Möglichkeiten dafür, dass Y=2.

P(Y=4)=%%\frac14%%

Begründung

Damit das Produkt der Augenzahlen 4 ergibt, müssen beide Würfel eine zwei zeigen. Es gibt also eine Möglichkeit dafür, dass Y=4.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y sieht also so aus:

%%k%%

%%1%%

%%2%%

%%4%%

%%P(Y=k)%%

%%\frac14%%

%%\frac12%%

%%\frac14%%

Teilaufgabe b)

Der Erwartungswert der Zufallsvariable X berechnet sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung:

%%E(X)= 2 \cdot \frac14+ 3 \cdot \frac12+4\cdot \frac14=3%%

Der Erwartungswert der Zufallsvariable Y lässt sich genauso berechnen:

%%E(Y)= 1\cdot \frac14+ 2\cdot \frac12 +4\cdot \frac14= 2,25%%

Teilaufgabe c)

Auch die Varianz lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen:

Zuerst berechnet man %%E(X^2)%%

%%E(X^2)= (\frac14) \cdot 4 + (\frac12) \cdot 9 + (\frac14) \cdot 16= 9,5%%

Also ist die Varianz von X:
%%Var(X)=9,5-3^2= 0,5%%

Die Varianz von Y berechnet sich ebenso:

%%E(Y^2)=1 \cdot \frac14 +4 \cdot \frac12 + 16\cdot \frac14=6,25%%

Also ist die Varianz von Y:

%%Var(Y)=6,25-2,25^2=1,1875%%