Aufgaben

Löse die Bruchgleichung:

%%\frac{2+x}{1-x}=\frac{3x}{2-3x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Bei jeder Bruchgleichung muss man zu Beginn die Definitionsmenge bestimmen.

%%\dfrac{2+x}{1-x}=\dfrac{3x}{2-3x}%%

Kein Nenner darf %%0%% werden.

%%1-x=0 \Leftrightarrow x=1%%

%%2-3x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac23%%

Damit lautet die Definitionsmenge: %%D=\mathbb{Q}\backslash\left\{\dfrac23,1\right\}%%

Bruchgleichung lösen

Bei dieser Bruchgleichung bietet sich das Verfahren Über Kreuz multiplizieren an.

%%\dfrac{2+x}{ \color{red}{1-x}}=\dfrac{3x}{\color{blue}{2-3x}}%%

%%|\cdot (1-x)%% %%|\cdot (2-3x)%%

Zwischenschritt

%%\dfrac{(2+x)\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{1-x}=\dfrac{3x\cdot (1-x)\cdot (2-3x)}{2-3x}%%

Jetzt kann gekürzt werden

%%(2+x)\cdot (2-3x)=3x\cdot (1-x)%%

%%(2+x)\cdot \color{blue}{(2-3x)}=3x\cdot \color{red}{(1-x)}%%

Ausmultiplizieren

%%4-6x+2x-3x^2=3x-3x^2%%

%%\begin{align} 4-6x+2x-3x^2&=3x-3x^2 \\ 4-4x&=3x \\ 4&=7x \\ x&=\dfrac47 \end{align}%%

%%|+3x^2 \\ |+4x \\ |:7%%

Da %%\dfrac47%% in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:

%%\mathbb{L}=\left\{\dfrac47\right\}%%

Beim Lösen einer Gleichung der Form %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% muss man „Über-Kreuz-Multiplizieren“. Das heißt %%\displaystyle\frac ab=\frac cd%% ist äquivalent zu %%\displaystyle a\cdot d=b\cdot c%% . Wende dieses Vorgehen bei den folgenden Bruchgleichungen an.

%%\displaystyle\frac3{2x+1}=\frac2{2-x}%%

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Deshalb musst du aus der Definitionsmenge alle Zahlen ausschließen, für die %%0%% in einem der Nenner ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%2x+1=0%%
  • %%2-x=0%%

Erste Gleichung lösen!

%%2x+1=0%%

%%|-1%%

%%2x=-1%%

%%|:2%%

%%x=-\dfrac12%%

Zweite Gleichung lösen!

%%2-x=0%%

%%|-2%%

%%-x=-2%%

%%|:(-1)%%

%%x=2%%

Daher müssen die Zahlen %%-\dfrac{1}{2}%% und %%2%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-0,5;\ 2\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

%%\dfrac{3}{2x+1}=\dfrac{2}{2-x}\quad%%

Über-Kreuz-Multiplizieren! %%\dfrac ab=\dfrac cd \Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b%%

%%6-3x=4x+2%%

Löse dann die Gleichung durch Umformen nach %%x%% auf.

%%6-3x=4x+2%%

%%|-2+3x%%

%%4=7x%%

%%|:7%%

%%\dfrac{4}7=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\frac{4}{7}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Es gilt %%x=\dfrac{4}{7} \in D%%, also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{4}{7}\right\}%%.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle\frac{x-2}{3+x}=\frac{2x}{2x-3}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten sind hier also:

  • %%3+x=0%%
  • %%2x-3=0%%

Löse die erste Gleichung!

%%3+x=0%%

%%|-3%%

%%x=-3%%

Löse die zweite Gleichung!

%%2x-3=0%%

%%|+3%%

%%2x=3%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 32%%

Daher müssen die Zahlen %%-3%% und %%\dfrac{3}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%% ?

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-3,\dfrac{3}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens:

Über-Kreuz-Multiplizieren!

%%(x-2)\cdot(2x-3)=2\cdot x\cdot(3+x)%%

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Löse nun die Gleichung nach %%x%% auf!

%%2x^2-3x-4x+6=6x+2x^2%%

Subtrahiere.

%%2x^2-7x+6=6x+2x^2%%

%%|-2x^2+7x%%

%%6=13x%%

%%|:13%%

%%\dfrac 6{13}=x%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=\dfrac{6}{13}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. %%x=\dfrac{6}{13} \in D%% also ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ \dfrac{6}{13}\right\}%%.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Definitionsbereich bestimmen

Zunächst musst du die Definitionsmenge der Gleichung bestimmen.

%%\displaystyle1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Keiner der beiden Nenner darf %%0%% werden.

Aus der Definitionsmenge musst du deshalb alle Zahlen ausschließen, für die einer der Nenner %%0%% ergeben würde.

Verboten ist hier:

  • %%2x-1=0%%
  • %%x+2=0%%

Löse die erste Gleichung.

%%2x-1=0%%

%%|+1%%

%%2x=1%%

%%|:2%%

%%x=\dfrac 12%%

Löse die zweite Gleichung.

%%x+2=0%%

%%-2%%

%%x=-2%%

Daher müssen die Zahlen %%-2%% und %%\dfrac{1}{2}%% aus der Definitionsmenge der Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Die Definitionsmenge ist %%D =\mathbb {Q}\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{Q}%% der rationalen Zahlen verwendet wird.

Kennst du schon %%\mathbb R%%

Die Defintionsmenge ist %%D=ℝ\backslash\left\{-2,\dfrac{1}{2}\right\}%%,
wenn als Grundmenge die Menge %%\mathbb{R}%% der reellen Zahlen verwendet wird.

Bruchgleichung lösen

Nun löst du die Bruchgleichung mit der Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens.:

Zunächst musst du die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Bruch bringen.

%%\displaystyle 1+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Den Summanden %%1%% mit %%2x-1%% erweitern.

%%\displaystyle\frac{2x-1}{2x-1}+\frac2{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Brüche auf der linken Seite addieren.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Nun wendest du die Methode des Über-Kreuz-Multiplizierens an.

%%\displaystyle\frac{2x-1+2}{2x-1}=\frac x{x+2}%%

Über-Kreuz-Multiplizieren.

%%(2x-1+2)(x+2)=x(2x-1)%%

%%2x^2-x+2x+4x-2+4=2x^2-x%%

%%|-2x^2+x%%

%%6x+2=0%%

%%|-2%%

%%6x=-2%%

%%|:6%%

%%x=-\dfrac26%%

Kürzen.

%%x=-\dfrac13%%

Überprüfe jetzt noch, ob %%x=-\dfrac{1}{3}%% in der Definitionsmenge enthalten ist. Wegen %%x=-\dfrac{1}{3} \in D%% ist die Lösungsmenge %%\mathbb L= \left\{ -\dfrac{1}{3}\right\}%%.

Bestimme die Definitions- und Lösungsmenge der Bruchgleichung.

%%\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}%%.

Definitionsmenge bestimmen

Beide Nenner nehmen für %%x=1%% den Wert %%0%% an. Das darf nicht passieren. Deshalb muss man die %%1%% aus der Definitionsmenge ausschließen.

Für die Definitionsmenge dieser Gleichung folgt:

%%D=\mathbb Q \backslash \{1\}%%.

Bruchgleichung lösen

Es bietet sich hier die Strategie "Über Kreuz multiplizieren" an. Hier sind beide Nenner sogar identisch.

%%\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}%%.

%%|\cdot(x-1)%%

%%\frac {\displaystyle x(x-1)} {\displaystyle {x-1}}=\frac {\displaystyle 1(x-1)} {\displaystyle x-1}%%.

Kürzen.

%%x=1%%

%%1%% ist nicht in der Definitionsmenge enthalten und somit auch nicht in der Lösungsmenge.

Also ist %%1%% keine Lösung der Gleichung.

An den zwei Graphen kann man erkennen, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. Also gilt für die Lösungsmenge %%\mathbb L=\emptyset%%.

Graph keineLösung pollstelle

  • %%\color{#cc0000}{f(x)}=\frac {\displaystyle x} {\displaystyle {x-1}}%%

  • %%\color{#ff6600}{g(x)}=\frac {\displaystyle 1} {\displaystyle x-1}%%.

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