Die maximale Definitionsmenge einer Bruchgleichung gibt an, welche Werte für die Variable eingesetzt werden dürfen.

Nenner darf nicht 0 sein

Im Nenner eines Bruches darf niemals Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in der Gleichung irgendwo im Nenner Null ergibt, müssen deshalb aus der Definitionsmenge einer Bruchgleichung ausgeschlossen werden.

Beispiel Bruchgleichung

Beispiel einer Bruchgleichung

Beide Nenner dürfen nicht Null werden.

Mathematische Schreibweise

Um Zahlen aus der Grundmenge auszuschließen, verwendet man das Mengenoperationszeichen %%\setminus%% (also einen nach rückwärts gekippten Strich).

  • "%%\setminus%%" bedeutet "ohne".
  • Danach kommen die ausgeschlossenen Zahlen.
  • Um diese Zahlen herum steht eine Mengenklammer: "%%\left\{ … \right\}%%".
Beispiel

%%\mathbb Q\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%% bezeichnet die Menge aller rationalen Zahlen außer %%-\frac {1}{5}%% und %%8%%.

Diese Menge würde man als Definitionsmenge für eine Bruchgleichung wählen, wenn

  • die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist, und
  • aus der Definitionsmenge %%-\frac {1}{5}%% und %%8%% ausgeschlossen werden müssen.

Anmerkung zur Grundmenge

Als Grundmenge wird natürlich in der Regel die größtmögliche Zahlenmenge verwendet, die zur Verfügung steht.
Je nach Klassenstufe und Lehrplan kann das aber entweder die Menge %%\mathbb R%% der reellen Zahlen oder aber nur die Menge %%\mathbb Q%% der rationalen Zahlen sein.

Beispiel

Wenn bei einer Bruchgleichung die Zahlen %%-\frac {1}{5}%% und %%8%% ausgeschlossen werden müssen, dann ist die Definitionsmenge

  • %%\mathbb D=\mathbb Q\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%%,
    falls die Grundmenge %%\mathbb Q%% ist,

und

  • %%\mathbb D=\mathbb R\setminus \left\{ -\frac {1}{5} ; 8 \right\}%%,
    falls die Grundmenge %%\mathbb R%% ist.

Vorgehensweise zum Bestimmen der Definitionsmenge

  • Für jeden der vorkommenden Brüche
  • schreibt man den Nenner heraus
  • setzt ihn gleich 0
  • und löst nach der Variablen auf.
  • Alle Zahlen, die man dabei als Lösungen erhält, muss man bei der Definitionsmenge ausschließen:
  • Man schreibt die Grundmenge hin (meist %%\mathbb Q%% oder %%\mathbb R%%),
  • dann %%\setminus%%
  • und dann in Mengenklammern all die Zahlen, für die irgendein Nenner Null werden würde.

Allgemeines Vorgehen erklärt am Beispiel

Allgemein (vgl. oben):

Beispiel:

$$\frac{-6x}{x^2-16} +\frac{2x+8}{5x+2}=2$$

Für jeden der vorkommenden Brüche

  • schreibt man den Nenner heraus,

$$x^2-16$$

$$5x+2$$

  • setzt ihn gleich 0

$$x^2-16=0$$

$$5x+2=0$$

  • und löst nach der Variablen auf.

%%\begin {array}{rcll}x^2-16 &=&0 &|+16;\ \\ x^2 &= &16 & \\ x=4 &\vee &x &=-4; \end{array}%%

%%\begin {array}{rcll}5x+2 &=&0 &|-2 \\ 5x &= &-2&|:5 \\ x &=&-\dfrac{2}{5} \end{array}%%

Die so erhaltenen Zahlen muss man bei der Definitionsmenge

  • aus der Grundmenge ausschließen.

Im Beispiel erhält man

%%\mathbb{D}= \mathbb{Q}\setminus \left\{-4;4;-\frac{2}{5} \right\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb {Q}%% ist,

bzw.

%%\mathbb{D}= \mathbb{R}\setminus \left\{-4;4;-\frac{2}{5} \right\}%%, falls die Grundmenge %%\mathbb {R}%% ist.

Übungsaufgaben

weitere Übungsaufgaben: Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen

Warum ist die maximale Definitionsmenge wichtig?

In der Regel wird vor dem Lösen der Bruchgleichung der Definitionsbereich (oder die Definitionsmenge) der Bruchgleichung bestimmt.

Wenn man später die Gleichung gelöst und ein Ergebnis erhalten hat, muss man nachprüfen, ob es überhaupt im Definitionsbereich liegt. Wenn es nicht darin enthalten ist, ist es nicht Lösung der Gleichung, auch wenn man ansonsten richtig gerechnet hat.

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Kulla 2018-12-03 22:45:11
Zum Begriff maximale Defintionsmenge: Ich habe den Begriff von "Definitionsmenge" in "maximale Definitionsmenge" geändert. Der Hintergrund: Im Funktionsbegriff bezeichnet "Definitionsmenge" nicht die maximale Menge der Zahlen, die man sinnvoll in den Term einsetzen kann, sondern die Menge der Argumente einer Funktion. So kann zum Funktionsterm f(x)=x^2 die Definitionsmenge R^+ sein, so dass man am Ende eine bijektive Funktion erhält. Einem Funktionsterm sieht man nicht an, welche Definitionsmenge gewählt wurde. Hier ist der Begriff "maximale Definitionsmenge" besser und gleichzeitig auch anschlussfähig für die tertiäre Ausbildung.

Im Übrigen ist mir der Begriff "Definitionsmenge" für eine Gleichung neu. Ich kenne ihn nur im Zusammenhang mit Funktionen. Jedoch kenne ich keine Alternative und ohne eine solche muss aktuell keine Diskussion bzgl einer Umbenennung geführt werden. :-)
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Hallo, zu den Übungsaufgaben Nr. b): ich habe -1 und 1 eingegeben und das wurde als falsch gekennzeichnet. In der anderen Reihenfolge (1 -1) dagegen als richtig. Bei der Aufgabe c) war jede beliebige Reihenfolge richtig. Bei b) sollte die Lösung erweitert werden.
Renate 2018-10-15 20:46:29
Hallo Kowalsky,

als ich deinen Kommentar las, stand ich zunächst vor einem Rätsel:

Soweit mir bekannt ist, kann man zu einer Eingabe-Aufgabe zwar mehrere falsche Antworten (die dann natürlich mit entsprechendem Feedback versehen werden müssen), aber nur EINE richtige Antwort hinzufügen.

Wie konnte es da geschehen, dass bei c) mehrere Antworten als richtig akzeptiert wurden?

Nach einigem Herumprobieren habe ich, denke ich, den Grund nun darin gefunden, dass das Eingabefeld im falschen (technischen) Format angelegt war.

Ich habe nun bei allen drei Unteraufgaben die Eingabefelder gelöscht und danach neu im (hoffentlich) richtigen Format angelegt.

Allerdings muss nun die Reihenfolge bei der Eingabe beachtet werden.

Aus mathematisch-didaktischer Sicht war ich natürlich nicht glücklich über diese Einschränkung; daher habe ich wenigstens zu den jeweils falschen Reihenfolgen ebenfalls Antworten ("falsche" Antworten, das heißt, solche, die in roter Schrift angezeigt werden und nicht in grüner, aber grüne Felder hat man ja nur jeweils einmal zur Verfügung) angelegt, bei denen im Feedback aber steht, dass die Zahlen schon stimmen, und nur die Reihenfolge nicht aufsteigend ist.

Was hältst du von diesem Kompromiss?
Viele Grüße
Renate

PS: Ich konnte auch bei a) und c) nicht die bisherige Variante stehen lassen, auch wenn bei c) alle Reihenfolgen als richtig akzeptiert wurden.
Denn akzeptiert wurden auch noch weitere "Lösungen", die definitv falsch waren.
Kowalsky 2018-10-16 09:41:48
Hallo Renate, ich denke, so ist es verständlich. Gruß Kowalsky
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