Aufgaben

Löse die Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel.

%%\left|\begin{array}{c}2x+4y-5z=11\\3x+3y+2z=17\\-4x-5y+6z=-17\end{array}\right.%%

%%\left|\begin{array}{c}2x+4y-5z=11\\3x+3y+2z=17\\-4x-5y+6z=-17\end{array}\right.%%

 

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

%%(\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{array}\left|\begin{array}{c}11\\17\\-17\end{array}\right.\right)%%

 

Tausche nun in der Matrix %%A%% die Spalte von %%x%% durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix %%{\mathrm A}_\mathrm x%% zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}11&4&-5\\17&3&2\\-17&-5&6\end{vmatrix}=-66%%

 

Mache dies auch für %%{\mathrm A}_\mathrm y%% und %%{\mathrm A}_\mathrm z%%, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&11&-5\\3&17&2\\-4&-17&6\end{vmatrix}=-99%%

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&4&11\\3&3&17\\-4&-5&-17\end{vmatrix}=-33%%

 

Berechne nun noch die Determinante von %%A%%.

%%\mathrm{detA}=\begin{vmatrix}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{vmatrix}=-33%%

 

Teile nun die Determinante von %%{\mathrm A}_\mathrm x%%, %%{\mathrm A}_\mathrm y%% bzw. %%{\mathrm A}_\mathrm z%% durch die Determinante von %%A%%. Erhalte so %%x%%,%%y%% bzw. %%z%%.

%%\mathrm x=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=2%%

%%\mathrm y=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=3%%

%%\mathrm z=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=1%%

%%\left|\begin{array}{c}2\mathrm x+\mathrm y+\mathrm z=2\\3\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-2\\4\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-1,5\end{array}\right.%%

%%\left|\begin{array}{c}2\mathrm x+\mathrm y+\mathrm z=2\\3\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-2\\4\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-1,5\end{array}\right.%%

 

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

%%(\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-2\\-1,5\end{array}\right.\right)%%

 

Tausche nun in der Matrix %%A%% die Spalte von %%x%% durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix %%{\mathrm A}_\mathrm x%% zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}2&1&1\\-2&-2&1\\-1,5&-2&1\end{vmatrix}=1,5%%

 

Mache dies auch für %%{\mathrm A}_\mathrm y%% und %%{\mathrm A}_\mathrm z%%, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-2&1\\4&-1,5&1\end{vmatrix}=4,5%%

%%{\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-2&-2\\4&-2&-1,5\end{vmatrix}=-1,5%%

 

Nun berechne noch die Determinante von %%A%%.

%%\det A=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{vmatrix}=3%%

 

Teile nun die Determinante von %%{\mathrm A}_\mathrm x%%, %%{\mathrm A}_\mathrm y%% bzw. %%{\mathrm A}_\mathrm z%% durch die Determinante von %%A%%, um %%x%%, %%y%% und %%z%% zu erhalten.

%%\mathrm x=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=0,5%%

%%\mathrm y=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=1,5%%

%%\mathrm z=\frac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=-0,5%%

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