Aufgaben
Löse die Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel.
2x+4y5z=113x+3y+2z=174x5y+6z=17\left|\begin{array}{c}2x+4y-5z=11\\3x+3y+2z=17\\-4x-5y+6z=-17\end{array}\right.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Cramersche Regel

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.
(Ab)=(245332456111717)(\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{array}\left|\begin{array}{c}11\\17\\-17\end{array}\right.\right)
Tausche nun in der Matrix AA die Spalte von xx durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix Ax{\mathrm A}_\mathrm x zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.
detAx=114517321756=66{\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}11&4&-5\\17&3&2\\-17&-5&6\end{vmatrix}=-66
Mache dies auch für Ay{\mathrm A}_\mathrm y und Az{\mathrm A}_\mathrm z, und berechne die Determinanten jener Matrizen.
detAy=211531724176=99{\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&11&-5\\3&17&2\\-4&-17&6\end{vmatrix}=-99
detAz=241133174517=33{\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&4&11\\3&3&17\\-4&-5&-17\end{vmatrix}=-33
Berechne nun noch die Determinante von AA.
detA=245332456=33\mathrm{detA}=\begin{vmatrix}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{vmatrix}=-33
Teile nun die Determinante von Ax{\mathrm A}_\mathrm x, Ay{\mathrm A}_\mathrm y bzw. Az{\mathrm A}_\mathrm z durch die Determinante von AA. Erhalte so xx,yy bzw. zz.
x=detAxdetA=2\mathrm x=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=2

y=detAydetA=3\mathrm y=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=3

z=detAzdetA=1\mathrm z=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=1
2x+y+z=23x2y+z=24x2y+z=1,5\left|\begin{array}{c}2\mathrm x+\mathrm y+\mathrm z=2\\3\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-2\\4\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-1,5\end{array}\right.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Cramersche Regel

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.
(Ab)=(211321421221,5)(\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-2\\-1,5\end{array}\right.\right)
Tausche nun in der Matrix AA die Spalte von xx durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix Ax{\mathrm A}_\mathrm x zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.
detAx=2112211,521=1,5{\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}2&1&1\\-2&-2&1\\-1,5&-2&1\end{vmatrix}=1,5
Mache dies auch für Ay{\mathrm A}_\mathrm y und Az{\mathrm A}_\mathrm z, und berechne die Determinanten jener Matrizen.
detAy=22132141,51=4,5{\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-2&1\\4&-1,5&1\end{vmatrix}=4,5
detAz=212322421,5=1,5{\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-2&-2\\4&-2&-1,5\end{vmatrix}=-1,5
Nun berechne noch die Determinante von AA.
detA=211321421=3\det A=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{vmatrix}=3
Teile nun die Determinante von Ax{\mathrm A}_\mathrm x, Ay{\mathrm A}_\mathrm y bzw. Az{\mathrm A}_\mathrm z durch die Determinante von AA, um xx, yy und zz zu erhalten.
x=detAxdetA=0,5\mathrm x=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=0,5

y=detAydetA=1,5\mathrm y=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=1,5

z=detAzdetA=0,5\mathrm z=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=-0,5
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