2x+y+z=23x2y+z=24x2y+z=1,5\left|\begin{array}{c}2\mathrm x+\mathrm y+\mathrm z=2\\3\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-2\\4\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-1,5\end{array}\right.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Cramersche Regel

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.
(Ab)=(211321421221,5)(\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-2\\-1,5\end{array}\right.\right)
Tausche nun in der Matrix AA die Spalte von xx durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix Ax{\mathrm A}_\mathrm x zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.
detAx=2112211,521=1,5{\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}2&1&1\\-2&-2&1\\-1,5&-2&1\end{vmatrix}=1,5
Mache dies auch für Ay{\mathrm A}_\mathrm y und Az{\mathrm A}_\mathrm z, und berechne die Determinanten jener Matrizen.
detAy=22132141,51=4,5{\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-2&1\\4&-1,5&1\end{vmatrix}=4,5
detAz=212322421,5=1,5{\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-2&-2\\4&-2&-1,5\end{vmatrix}=-1,5
Nun berechne noch die Determinante von AA.
detA=211321421=3\det A=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{vmatrix}=3
Teile nun die Determinante von Ax{\mathrm A}_\mathrm x, Ay{\mathrm A}_\mathrm y bzw. Az{\mathrm A}_\mathrm z durch die Determinante von AA, um xx, yy und zz zu erhalten.
x=detAxdetA=0,5\mathrm x=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=0,5

y=detAydetA=1,5\mathrm y=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=1,5

z=detAzdetA=0,5\mathrm z=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=-0,5