Löse das Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren.
3x+2y=14x+y=26x+4y=3\begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



3x+2y=14x+y=26x+4y=3\begin{array}{ccrcr}3x&+&2y&=&-1\\4x&+&y&=&-2\\6x&+&4y&=&3\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(321412643)\left(\begin{array}{cc|r}3&2&-1\\4&1&-2\\6&4&3\end{array}\right)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 4 und die dritte durch 6.
I:3,  II:4III:6(123131142412312)\underset{\mathrm{III:6}}{\xrightarrow{\mathrm{I:3,\;II:4}}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\1&\frac14&-\frac24\\1&\frac23&\frac12\end{array}\right)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
III,  IIII(123130512160056)\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac16\\0&0&\frac56\end{array}\right)
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
rg(123051200)=2<3=rg(123130512130056)rg\begin{pmatrix}1&\frac23\\0&-\frac5{12}\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|r}1&\frac23&-\frac13\\0&-\frac5{12}&-\frac13\\0&0&\frac56\end{array}\right)
  x3y=42x+y=14x+5y=9\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



  x3y=42x+y=14x+5y=9\begin{array}{rcrcc}\;x&-&3y&=&4\\2x&+&y&=&1\\4x&+&5y&=&9\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(134211459)\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\2&1&1\\4&5&9\end{array}\right)
Dann dividiert man die zweite Zeile durch 2 und die dritte durch 4.
II:2,  III:4(1341121215494)\xrightarrow{\mathrm{II:2,\;III:4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\1&\frac12&\frac12\\1&\frac54&\frac94\end{array}\right)
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
III,  IIII(13407272017474)\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&\frac72&-\frac72\\0&\frac{17}4&-\frac74\end{array}\right)
Dividiere anschließen die zweite Zeile durch 72\frac72 und die dritte durch 174\frac{17}4.
II:72,  III:174(13401101717)\xrightarrow{\mathrm{II:\frac72,\;III:\frac{17}4}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&1&-\frac7{17}\end{array}\right)
Nun subtrahiert man von der dritten Zeile die zweite.
IIIII(134011001017)\xrightarrow{\mathrm{III-II}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat, denn:
rg(130100)=2<3=rg(134011001017)rg\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=2<3=rg\left(\begin{array}{cc|c}1&-3&4\\0&1&-1\\0&0&\frac{10}{17}\end{array}\right)
x2y=32x+4y=6  x+2y=3\begin{array}{rcrcr}x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



        x2y=32x+4y=6  x+2y=3\begin{array}{rcrcr}\;\;\;\;x&-&2y&=&3\\-2x&+&4y&=&-6\\\;-x&+&2y&=&-3\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(123246123)\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\-2&4&-6\\-1&2&-3\end{array}\right)
Dann dividiert man die zweite Zeile durch -2 und die dritte durch -1.
II:(2),  III:(1)(123123123)\xrightarrow{\mathrm{II:(-2),\;III:(-1)}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\1&-2&3\\1&-2&3\end{array}\right)
Nun subtrahiert man die erste von der zweiten Zeile und von der dritten.
III,  IIII(123000000)\xrightarrow{\mathrm{II-I,\;III-I}}\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)
Nach dem Kriterium zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen folgt schon, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, denn:
rg(123000000)=1<3rg\left(\begin{array}{rr|r}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)=1<3
Dennoch kann man eine Lösungsmenge angeben:
L={(x,y)R2x2y=3}L=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x-2y=3\}
Bemerkung: Die (unendlich vielen) Lösungen befinden sich auf einer Geraden mit der Gleichung x2y=3y=12x32x-2y=3\Leftrightarrow y=\frac12x-\frac32.
6xy+2z=15x3y+3z=43x2y+z=14\begin{array}{rcrcrcr}6x&-&y&+&2z&=&1\\5x&-&3y&+&3z&=&4\\3x&-&2y&+&z&=&14\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



6xy+2z=15x3y+3z=43x2y+z=14\begin{array}{rcrcrcr}6x&-&y&+&2z&=&1\\5x&-&3y&+&3z&=&4\\3x&-&2y&+&z&=&14\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
(6121533432114)1I2III5I6II(612101381903027)3II13III(61210138190024294)\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\5&-3&3&4\\3&-2&1&14\end{array}\right)\overset{\mathrm{5 \cdot I - 6 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot III}} \longrightarrow}\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&13&-8&-19\\0&3&0&-27\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot II - 13 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crc|c}6&-1&2&1\\0&13&-8&-19\\0&0&-24&294\end{array}\right)
Aus der dritten Zeile folgt:
24z=294-24z=294
z=12,25z=-12,25
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
13y8(12,25)=1913y-8\cdot\left(-12,25\right)=-19
13y+98=1913y+98=-19
13y=11713y=-117
y=9y=-9
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
6x(9)+2(12,25)=16x-\left(-9\right)+2\cdot\left(-12,25\right)=1
6x+924,5=16x+9-24,5=1
6x15,5=16x-15,5=1
6x=16,56x=16,5
x=2,75x=2,75
  x=2,75;  y=9;  z=12,25\Rightarrow\;x=2,75;\;y=-9;\;z=-12,25
34x76y=189x+14y=3213x+19y=0\begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



34x76y=189x+14y=3213x+19y=0\begin{array}{cccc}\frac34x&-&\frac76y&=&\frac18\\-9x&+&14y&=&-\frac32\\\frac13x&+&\frac19y&=&0\end{array}
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
(3476189143213190)\left(\begin{array}{cc|c}\frac34&-\frac76&\frac18\\-9&14&-\frac32\\\frac13&\frac19&0\end{array}\right)
Dann dividiert man die erste Zeile durch 34\frac34, die zweite durch 9-9 und die dritte durch 13\frac13.
I:34,  II:(9)III:13(1149161149161130)\underset{\mathrm{III}:\frac13}{\xrightarrow{\mathrm{I:\frac34,\;II:(-9)}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\1&-\frac{14}9&\frac16\\1&\frac13&0\end{array}\right)
Nun subtrahiert man von der zweiten und dritten Zeile die erste.
IIIIIII(114916000017916)\underset{\mathrm{III-I}}{\xrightarrow{\mathrm{II-I}}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&\frac{17}9&-\frac16\end{array}\right)
Wegen rg(A)=2=rg(Ab)rg(A)=2=rg(A|b) und zwei ist die Anzahl der Unbekannten, ist das Gleichungssystem nach dem Rangkriterium für die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen eindeutig lösbar.
Man dividiert nun die dritte Zeile durch 179\frac{17}9.
III:179(11491600001334)\xrightarrow{\mathrm{III:\frac{17}9}}\left(\begin{array}{cc|c}1&-\frac{14}{9}&\frac16\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)
Anschließend subtrahiert man von der ersten das 149-\frac{14}9-fache der dritten Zeile.
I(149)III(1013400001334)\xrightarrow{\mathrm{I-(-\frac{14}9)\cdot III}}\left(\begin{array}{cc|c}1&0&\frac{1}{34}\\0&0&0\\0&1&-\frac3{34}\end{array}\right)
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
L={(134;334)}L=\left\{\left(\frac1{34};-\frac3{34}\right)\right\}
6xz+2y=485y3x+3z=493z2x+y=24\begin{array}{rcrcrcr}6x &- & z &+ &2y &=&48\\5y &- &3x &+ &3z &=&49\\3z &- &2x &+ & y &=&24\end{array}
    x2y    =4  yz=1x+y+3z=1\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren



    x2y    =4  yz=1x+y+3z=1\begin{array}{rcrcrcr}\;\;x&-&2y&\;&\;&=&4\\\;&-&y&-&z&=&-1\\-x&+&y&+&3z&=&-1\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
(120401111131)1I+1III(120401110133)1II1III(120401110044)\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\-1&1&3&-1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1\cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\0&-1&3&3\end{array}\right)\overset{\mathrm{1\cdot II - 1 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&4\\0&-1&-1&-1\\0&0&-4&-4\end{array}\right)
Aus der dritten Zeile folgt:
4z=4-4z=-4
:(4)\left|{:\left(-4\right)}\right.

z=1z=1
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y1=1-y-1=-1
+1\left|{+1}\right.

y=0-y=0
:(1)\left|{:\left(-1\right)}\right.

y=0y=0
  \;
Setze den gefundenen y-Wert in die erste Zeile ein.
x20=4x-2\cdot0=4
x=4x=4
  x=4;  y=0;  z=1\displaystyle \Rightarrow\;x=4;\;y=0;\;z=1
2x+3yz=3x    +2z=9xy    =2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}
2x+3yz=3x    +2z=9xy    =2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&3y&-&z&=&3\\x&\;&\;&+&2z&=&9\\x&-&y&\;&\;&=&2\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{ccr}2&3&-1\\1&0&2\\1&-1&0\end{array}\left|\begin{array}{c}3\\9\\2\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I -2 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&5&-1\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-1\end{array}\right.\right)\overset{\mathrm{5 \cdot II - 3 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr}2&3&-1\\0&3&-5\\0&0&-22\end{array}\left|\begin{array}{r}3\\-15\\-72\end{array}\right.\right)%%
Aus der letzten Zeile folgt:
22z=72-22z=-72
:(22)\left|{:\left(-22\right)}\right.

z=3611z=\frac{36}{11}
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
3y53611=153\cdot y-5\cdot\frac{36}{11}=-15
  \;
3y18011=153\cdot y-\frac{180}{11}=-15
+18011\left|{+\frac{180}{11}}\right.

3y=15113\cdot y=\frac{15}{11}
:3\left|{:3}\right.

y=511y=\frac5{11}
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2x+35113611=32\cdot x+3\cdot\frac5{11}-\frac{36}{11}=3
  \;
2x+15113611=32\cdot x+\frac{15}{11}-\frac{36}{11}=3
  \;
2x+2111=32\cdot x+-\frac{21}{11}=3
+2111\left|{+\frac{21}{11}}\right.

2x=54112\cdot x=\frac{54}{11}
:2\left|{:2}\right.

x=2711x=\frac{27}{11}


        x=2711;  y=511;  z=3611\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{27}{11};\;y=\frac5{11};\;z=\frac{36}{11}
5x+2y2z=13x+y3z=42x    +z=4\begin{array}{rcrcrcr}5x&+&2y&-&2z&=&-1\\3x&+&y&-&3z&=&-4\\2x&\;&\;&+&z&=&4\end{array}
5x+2y2z=13x+y3z=42x    +  z=4\begin{array}{ccrcrcr}5x&+&2y&-&2z&=&-1\\3x&+&y&-&3z&=&-4\\2x&\;&\;&+&\;z&=&4\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\3&1&-3&-4\\2&0&1&4\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot I-5 \cdot II}}{\underset{\mathrm{2 \cdot I - 5 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\0&1&9&17\\0&4&-9&-22\end{array}\right)\overset{\mathrm{4 \cdot II-1 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{ccr|r}5&2&-2&-1\\0&1&9&17\\0&0&45&90\end{array}\right)%%
Aus der dritten Zeile folgt:
45z=9045z=90
:45\left|{:45}\right.

z=2z=2
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
y+92=17y+9\cdot2=17
  \;
y+18=17y+18=17
18\left|{-18}\right.

y=1y=-1
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
5x+2(1)22=15x+2\cdot\left(-1\right)-2\cdot2=-1
  \;
5x24=15x-2-4=-1
5x6=15x-6=-1
+6\left|{+6}\right.

5x=55x=5
:5\left|{:5}\right.

x=1x=1
  x=1;  y=1;  z=2\displaystyle \Rightarrow\;x=1;\;y=-1;\;z=2
4x+3y+z=132x5y+3z=17xy2z=1\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}
4x+3y+z=132x5y+3z=17xy2z=1\begin{array}{ccrcrcr}4x&+&3y&+&z&=&13\\2x&-&5y&+&3z&=&1\\7x&-&y&-&2z&=&-1\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\2&-5&3&1\\7&-1&-2&-1\end{array}\right)\overset{\mathrm{1 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{7 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&25&15&95\end{array}\right)\overset{\mathrm{25 \cdot II - 13 \cdot III}}\longrightarrow\left(\begin{array}{crr|r}4&3&1&13\\0&13&-5&11\\0&0&-320&-960\end{array}\right)%%
Aus der dritten Zeile folgt:
320z=960-320z=-960
:(320)\left|:\left(-320\right)\right.

z=3z=3
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
13y53=1113y-5\cdot3=11
13y15=1113y-15=11
+15\left|+15\right.

13y=2613y=26
:13\left|{:13}\right.

y=2y=2
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Gleichung ein.
4x+32+3=134x+3\cdot2+3=13
  \;
Fasse zusammen.
4x+9=134x+9=13
9\left|-9\right.

4x=44x=4
:4\left|{:4}\right.

x=1x=1
  x=1;  y=2;  z=3\displaystyle \Rightarrow\;x=1;\;y=2;\;z=3
2x+9y14z=393x+6y+2z=36x2+y3+7z=2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}
2x+9y14z=393x+6y+2z=36x2+y3+7z=2\begin{array}{rcrcrcr}2x&+&9y&-&14z&=&39\\3x&+&6y&+&2z&=&36\\\frac x2&+&\frac y3&+&7z&=&2\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\3&6&2&36\\ \frac12&\frac13& 7&2\end{array}\right)\overset{\mathrm{3 \cdot I - 2 \cdot II}}{\underset{\mathrm{1 \cdot I - 4 \cdot III}}\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&\frac{23}{3}& -42&31\end{array}\right)\overset{\mathrm{\frac{23}{3} \cdot II - 15 \cdot III}}\longrightarrow \left(\begin{array}{ccr|c}2&9&-14&39\\0&15&-46&45\\ 0&0& \frac{832}{3}&-120\end{array}\right)%%
Aus der dritten Zeile folgt:
8323z=120\frac{832}3z=-120
:8323\left|{:\frac{832}3}\right.

z=45104z=-\frac{45}{104}
  \;
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
15y46(45104)=4515\cdot y-46\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=45
  \;
15y+103552=4515\cdot y+\frac{1035}{52}=45
103552\left|{-\frac{1035}{52}}\right.

15y=13055215\cdot y=\frac{1305}{52}
:15\left|{:15}\right.

y=8752y=\frac{87}{52}
  \;
Setze den gefundenen y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
2x+9875214(45104)=392\cdot x+9\cdot\frac{87}{52}-14\cdot\left(-\frac{45}{104}\right)=39
  \;
2x+78352+31552=392\cdot x+\frac{783}{52}+\frac{315}{52}=39
2x+109852=392\cdot x+\frac{1098}{52}=39
109852\left|{-\frac{1098}{52}}\right.

2x=465262\cdot x=\frac{465}{26}
:2\left|{:2}\right.

x=46552x=\frac{465}{52}
    x=46552;  y=8752;  z=45104\displaystyle \Rightarrow\;\;x=\frac{465}{52};\;y=\frac{87}{52};\;z=-\frac{45}{104}
x+yz=44x2y2z=35x+4y+2z=0\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}
x+yz=44x2y2z=35x+4y+2z=0\begin{array}{rcrcrcr}x&+&y&-&z&=&4\\4x&-&2y&-&2z&=&3\\-5x&+&4y&+&2z&=&0\end{array}
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
%%\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\4&-2&-2&3\\-5&4&2&0\end{array}\right)\overset{\mathrm{4 \cdot I - 1 \cdot II}}{\underset{\mathrm{5 \cdot I + 1 \cdot III}}\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&9&-3&20\end{array}\right)\overset{\mathrm{9 \cdot I - 1 \cdot III}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rrr|c}1&1&-1&4\\0&6&-2&13\\0&0&0&-1\end{array}\right)%%
Aus unterer Zeile folgt:
0z=10\cdot z=-1
    \Rightarrow\;\; Dies ist nicht lösbar!