Aufgaben zu einfachen Potenzen

Aufgaben

Berechne ohne Taschenrechner

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%%3^5%%

%%\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3%%

Potenzen

%%\left[400-\left(7+3\cdot2^7\right)\right]:3=%%

Schreibe die Potenz aus.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot4\cdot4\cdot4\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse erneut zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot16\cdot4\cdot2\right)\right]:3=%%

Fasse zusammen.

%%=\left[400-\left(7+3\cdot16\cdot8\right)\right]:3=%%

Man multipliziert zunächst die Zahlen in der Klammer da gilt: Klammer vor Punkt vor Strich

%%=\left[400-\left(7+3\cdot128\right)\right]:3=%%

Multilpiziere.

%%=\left[400-\left(7+384\right)\right]:3=%%

Addiere die Zahlen in der Klammer.

Die Klammer löst sich dadurch auf.

%%=\left[400-391\right]:3=%%

Subtrahiere in der Klammer.

Die Klammer löst sich auf.

%%=9:3=%%

Dividiere.

%%=3%%

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Dividiere die Potenz mit der Basis 75 und dem Exponenten 3 durch die Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 5.

Potenzieren

%%\dfrac{75^3}{5^5}%%

 

%%=\dfrac{15^3\cdot5^3}{5^5}%%

 

%%=\dfrac{3^3\cdot5^3\cdot5^3}{5^5}%%

Kürze mit %%5^5%%.

%%=3^3\cdot5^1%%

Berechne jetzt die einzelnen Potenzen. %%3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27%% und %%5^1 = 5%%

%%=27\cdot 5=135%%

 

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Dividiere die Potenz mit der Basis 18 und dem Exponenten 4 durch die Potenz mit der Basis 3 und dem Exponenten 7. Rechne so vorteilhaft wie möglich!

Potenzieren:

%%\frac{18^4}{3^7}%%

18 in Primfaktoren zerlegen.

%%=\frac{\left(2\cdot3^2\right)^4}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\frac{2^4\cdot\left(3^2\right)^4}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=\frac{2^4\cdot3^8}{3^7}%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=2^4\cdot3^1%%

 

%%=16\cdot3=48%%

 

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Multipliziere die Potenz mit der Basis 6 und dem Exponenten 4 mit der Potenz mit der Basis 5 und dem Exponenten 3.

Löse diese Aufgabe durch geschicktes Umformen.

Potenzieren:

%%6^4\cdot5^3%%

Verwende %%6^4=3^4\cdot2^4%%

%%=3^4\cdot2^4\cdot5^3%%

Verwende %%2^4=2\cdot2^3%%

%%=3^4\cdot2\cdot2^3\cdot5^3%%

Verwende %%2^3\cdot5^3=\left(2\cdot5\right)^3%%

%%=3^4\cdot2\cdot\left(2\cdot5\right)^3%%

Ausmultiplizieren,

%%=162\cdot1000%%

%%=162000%%

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation

Wir probieren die Quadratzahlen der Reihe nach durch. Da 102=10010^2 =100 schon dreistellig ist, sollten wir nicht allzu viele zweistellige Quadratzahlen bekommen:
12=1∣ nicht zweistellig22=4∣ nicht zweistellig32=9∣ nicht zweistellig42=16∣ gerade Quadratzahl52=25∣ 1. ungerade zweistellige Quadratzahl62=36∣ gerade Quadratzahl72=49∣ 2. ungerade zweistellige Quadratzahl82=64∣ gerade Quadratzahl92=81∣ 3. ungerade zweistellige Quadratzahl102=100∣ bereits dreistellig\begin{array}{rll}1^2 & = 1 & | \text{ nicht zweistellig} \\2^2 &= 4 & | \text{ nicht zweistellig} \\3^2 &= 9 & | \text{ nicht zweistellig} \\4^2 &= 16 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{5^2} &\color{Green}{= 25} & \color{Green}{|\text{ 1. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\6^2 &= 36 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{7^2} &\color{Green}{= 49} & \color{Green}{|\text{ 2. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\8^2 &= 64 & | \text{ gerade Quadratzahl} \\\color{Green}{9^2} &\color{Green}{= 81} & \color{Green}{|\text{ 3. ungerade zweistellige Quadratzahl}} \\10^2 &= 100 & | \text{ bereits dreistellig}\end{array}
Alle Quadratzahlen ab 100 sind nicht mehr zweistellig. Damit gibt es mit 2525, 4949 und 8181 insgesamt 33 Quadratzahlen, deren Endziffer ungerade ist.
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