Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.

Man geht aus von der Form %%\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+c%% und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform %%\mathrm a(\mathrm x-\mathrm d)^2+\mathrm e%% .

$$\style{font-size:20px}{ax^2+bx+c\;\;\Rightarrow\;a\left(x-d\right)^2+e}$$

Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.

Vorgehensweise am Beispiel

Quadratische Ergänzung des Terms %%\style{font-size:18px}{12x+17+2x^2}%%

Vorgehensweise

Beispiel

Womit etwas gemacht wird

Beispiel

Was gemacht wird

1 Sortieren

Vorne %%x^2%%, dann x dann die Konstante.

Hier: %%2x^2%% nach vorne bringen

$$=12\mathrm x+17+\mathbf2\mathbf x^\mathbf2$$

$$=\mathbf2\mathbf x^\mathbf2+12\mathrm x+17$$

2 Ausklammmern

Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei den "x-Termen" ausklammern(Faktorisieren).

$$=\mathbf2\mathrm x^2+12\mathrm x+17$$

$$=2(x^2+6x)+17$$

3 Ergänzen

Berechne %%z=\left(\frac p2\right)^2%% . Addiere z direkt dahinter und subtrahiere wieder.

Hier: Ergänzen mit %%z=\left(\frac62\right)^2=3^2=9%%

$$=2(x^2+\mathbf6x)+17$$

$$=2(x^2+6x\boldsymbol+\mathbf9\boldsymbol-\mathbf9)+17$$

4 Zusammenfassen

mit Hilfe der Binomischen Formeln .

Hier: Der Term %%x^2+6+9%% ist eine aufgelöste erste binomische Formel.

$$=2(x^2\boldsymbol+\mathbf6\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf9-9)+17$$

$$=2((\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)^\mathbf2-9)+17$$

5 Klammer ausmultiplizieren

Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden %%(x+3)^2%% und %%(-9)%%

$$=2((x+3)^2\boldsymbol-\mathbf9)+17$$

$$=2(x+3)^2\boldsymbol-\mathbf{18}+17$$

6 Rechte Summe ausrechnen

$$=2(x+3)^2\boldsymbol-\mathbf{18}\boldsymbol+\mathbf{17}$$

$$=2(x+3)^2\boldsymbol-\mathbf1$$

Am Ende erhält man die Scheitelform:

$$\boldsymbol=\mathbf2\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol+\mathbf3\boldsymbol)^\mathbf2\boldsymbol-\mathbf1$$

Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet

Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.

Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.

Sonderfall bx = 0

Wenn der lineare Term bxfehlt, lautet die Ausgangsgleichung %%ax^2+c=0%%.

Hier gibt es keinen x-Term. Es fehlt also der Ausdruck, dessen Vorfaktor man bei der quadratischen Ergänzung halbieren und quadrieren muss.

Deshalb die Überlegung: Wann fällt bei einer binomischen Formel %%\left(w+z\right)^2=w^2+2wz+z^2%% der gemischte Term weg?

%%\begin{array}{l}2wz=0\\\Leftrightarrow w=0\;\text{oder}\;z=0\end{array}%%

Da %%w^2=x^2%% und damit %%w=x%% nicht 0 ist, muss also %%z=0%% sein.

Man müsste also mit %%z^2=0^2=0%% ergänzen - ein überflüssiger Vorgang.

Betrachtet man jetzt noch einmal die Ausgangsgleichung, dann erkennt man, das bereits die Scheitelform gegeben ist, denn %%ax^2+c=a\left(x+0\right)^2+c%% .

Wozu dient die quadratische Ergänzung?

Scheitelpunkt bestimmen

Mit Hilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.

Ist die Scheitelform  %%a\left(x-d\right)^2+e%% , so liegt der Scheitelpunkt bei  %%\left(d\vert e\right)%% .

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine normale quadratische Gleichung der Form %%\mathrm{ax}^2+\mathrm{bx}+c=0%% kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.

Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.

Beispiel: %%3(x-1)^2-12=0%%

$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}3(x-1)^2-12\;=\;0\;\\\;\;\;\;\;\;\;3(x-1)2\;=12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x-1{)^2\;}=\;4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-1=\pm2\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\pm2+1\\\end{array}$$

$$L=\left\{-1;3\right\}$$

$$\begin{array}{l}\left|+12\right.\\\left|:3\right.\\\left|\sqrt\;\right.\\\left|+1\right.\end{array}$$

Kommentieren Kommentare

Zu article Quadratische Ergänzung: Zur Nummer 3
DavidA 2016-09-22 09:46:05
Man könnte im Bereich 3 bei "Ergänzen" vielleicht noch etwas genauer auf die Form der binomischen Formel eingehen. Also (a+b)²=a²+2ab+b², wobei man hier speziell in dem Beispiel die 6 umschreibt in 2*3! Dann kann man nämlich sehr einfach a und b ablesen. Vielleicht ist dann ersichtlichter, woher (p/2)² kommt! ;)

z.B:

x²+6x quadratisch ergänzen:

(vielleicht noch beschreiben, dass man +3² -3²=0 mit einbaut, da man ja die binomische Formel erhalten möchte aber eine äquivalente Umformung nötig ist, das heißt man addiert Null und fügt somit nichts hinzu, die Gleichheit bleibt erhalten

x²+2*3*x = x² + 2*3*x + 3² -3² = (x² + 2*3*x + 3²) -3² = (x+3)² -9

Was haltet ihr davon?
Nish 2016-09-25 10:54:15
Finde ich sehr gut. Vor allem der Schritt +3^2-3^2 sollte hier deutlicher gezeigt werden. Ich habe leider keine Zeit die Änderungen vorzunehmen. Ich suche mal im Team jdn., der das erledigt.

LG,
Nish
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