Aufgaben

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division

Bestimme alle möglichen Quotienten mit einem festen Dividenden. Gehe alle möglichen Dividenden durch.
Die Reihenfolge ist hier von den großen zu den kleinen Zahlen absteigend geordnet.

35 als Dividend

35:(7)=535:\left(-7\right)=-5
35:(1)=3535:\left(-1\right)=-35
35:35=135:35=1
  \Rightarrow\; Dies sind alle möglichen Quotienten, die sich mit Zahlen aus der betrachteten Menge von Zahlen und Dividend 35 bestimmen lassen.
Denn durch 0 darf nie geteilt werden und bei der Division einer ungeraden Zahl durch eine gerade Zahl gibt es einen Rest ungleich 0.

12 als Dividend

12:(4)=312:\left(-4\right)=-3
12:(1)=1212:\left(-1\right)=-12
12:12=112:12=1

0 als Dividend

0:35=00:35=0
0:12=00:12=0
0:(1)=00:\left(-1\right)=0
0:(4)=00:\left(-4\right)=0
0:(7)=00:\left(-7\right)=0

-1 als Dividend

1:(1)=1-1:(-1)=1

-4 als Dividend

(4):(1)=4\left(-4\right):\left(-1\right)=4
(4):(4)=1(-4):(-4)=1

-7 als Dividend

(7):(1)=7\left(-7\right):\left(-1\right)=7
(7):(7)=1(-7):(-7)=1

Zusammenfassung

Alle möglichen Quotientenwerte sind:
35,  12,  5,  3,  0,  1-35,\;-12,\;-5,\;-3,\;0,\;1 und 77.
Gib alle Teiler der Zahl -30 an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Divison

Lösung durch systematisches Probieren

Positive Teiler von -30

Bestimme alle positiven Teiler von 30-30. Teste dafür systematisch mögliche Teiler.
Du kannst dir beispielsweise alle Zahlen von 1 bis 30 notieren und alle Zahlen austesten.
Wenn 30-30 durch die Zahl teilbar ist, kannst du den Teiler einkreisen und falls sie nicht teilbar ist durchstreichen.
30:1=30 -30:1=-30\ \Rightarrow 1 ist Teiler.
30:2=15 -30:2=-15\ \Rightarrow 2 ist Teiler.
30:3=10 -30:3=-10\ \Rightarrow 3 ist Teiler.
30:5=6 -30:5=-6\ \Rightarrow 5 ist Teiler.
30:6=5 -30:6=-5\ \Rightarrow 6 ist Teiler.
30:10=3 -30:10=-3\ \Rightarrow 10 ist Teiler.
30:15=2 -30:15=-2\ \Rightarrow 15 ist Teiler.
30:30=1 -30:30=-1\ \Rightarrow 30 ist Teiler.
Die positiven Teiler der Zahl 30-30 sind also: 11, 22, 33, 55, 66, 1010, 1515, 3030.
Anstatt alle Zahlen von 1 bis 30 auszuprobieren, kannst du auch Teilerpärchen bilden. Schau dir dafür die positive Zahl 30 an und finde die ersten kleinen Teiler von 30. Die Teiler von 30 sind auch Teiler der Zahl -30.
30:1=3030:\textcolor{ff6600}{1}=30 \Rightarrow 1 ist Teiler von 30.
30:2=1530:\textcolor{ff6600}{2}=15 \Rightarrow 2 ist Teiler von 30.
30:3=1030:\textcolor{ff6600}{3}=10 \Rightarrow 3 ist Teiler von 30.
...
Vielleicht siehst du jetzt schon, dass du durch diese 3 Rechnungen schon weitere Teiler finden konntest.
Die Zahlen 30, 15 und 10 sind nämlich auch Teiler:
30:1=3030:\textcolor{ff6600}{1}=\textcolor{009999}{30} ist gleichbedeutend mit 301=30\textcolor{009999}{30}\cdot \textcolor{ff6600}{1} = 30 \Rightarrow 1 und 30 sind Teiler.
30:2=1530:\textcolor{ff6600}{2}=\textcolor{009999}{15} ist gleichbedeutend mit 152=30\textcolor{009999}{15}\cdot \textcolor{ff6600}{2} = 30 \Rightarrow 2 und 15 sind Teiler.
30:3=1030:\textcolor{ff6600}{3}=\textcolor{009999}{10} ist gleichbedeutend mit 103=30\textcolor{009999}{10}\cdot \textcolor{ff6600}{3} = 30 \Rightarrow 3 und 10 sind Teiler.
...
Du kannst also Teilerpärchen bilden. Wenn du irgendwann auf die gleichen Teilerpärchen nochmal triffst, bist du schon fertig.
...
30:430:4 geht nicht.
30:5=630:\textcolor{ff6600}{5}=\textcolor{009999}{6} \Rightarrow 5 und 6 sind Teiler.
30:6=530:\textcolor{ff6600}{6} =\textcolor{009999}{5}\Rightarrow 6 und 5 sind Teiler. Das Ergebnis hatten wir schon. Also wiederholt es sich ab hier in umgekehrter Reihenfolge wieder.
Somit musstest du insgesamt nur 6 Zahlen testen und keine 30.

Negative Teiler von -30

Alle positiven Teiler der Zahl, sind bei Änderung des Vorzeichens die negativen Teiler der Zahl.

pos. Teiler

neg. Teiler

1

-1

2

-2

3

-3

5

-5

6

-6

10

-10

15

-15

30

-30

Ergebnis

Die Teiler der ganzen Zahl 30-30 sind:
±1,  ±2,  ±3,  ±5  ±6,  ±10,  ±15,  ±30\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30

Lösung durch Primfaktorzerlegung

Mithilfe einer Primfaktorzerlegung kannst du auch alle Teiler der Zahl 30-30 finden. Dafür musst du alle Primfaktoren der Zahl -30 finden.
30=(1)30=(1)215=(1)235-30=(-1)\cdot 30 =(-1)\cdot 2 \cdot 15 =(-1)\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5
Die Zahl 1 teilt jede Zahl.
Die Faktoren einzeln sind Teiler, also -1, 2, 3 und 5.
Die weiteren Teiler sind Kombinationen der Primfaktoren. Du kannst also alle möglichen Kombinationen aus 2 Zahlen der Zerlegung miteinander multiplizieren, dann 3 Zahlen miteinander verknüpfen und dann alle 4 Zahlen. Dann hast du alle Teiler.

Kombinationen aus 2 Zahlen

(1)2=2(-1)\cdot2 =-2
(1)3=3(-1)\cdot3 =-3
(1)5=5(-1)\cdot5 =-5
23=62\cdot 3=6
25=102\cdot 5=10
35=153 \cdot 5 = 15

Kombinationen aus 3 Zahlen

(1)23=6(-1)\cdot2\cdot3 =-6
(1)25=10(-1)\cdot 2 \cdot 5 = -10
(1)35=15(-1)\cdot 3 \cdot 5 = -15
235=302\cdot 3 \cdot 5 = 30

Kombination aus allen 4 Zahlen

(1)235=30(-1)\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 =-30
Alle Teiler sind damit: ±1,  ±2,  ±3,  ±5  ±6,  ±10,  ±15,  ±30\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30

Gegeben sind Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -12, -11…, -1, 0, 1,…, 11, 12.

Dabei zählen z. B. %%11\cdot12%% und %%12\cdot11%% als nur ein Produkt.

  1. Wie viele haben einen Wert größer als 100?

  2. Wie viele haben einen Betrag größer als 100?

  3. Wie viele haben einen Betrag kleiner als 4?

Teilaufgabe 1

Es gibt acht Produkte mit einem Wert größer als 100: %%12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right)%%

Teilaufgabe 2

Es gibt 16 Produkte, deren Betrag größer als 100 ist:

%%\begin{array}{l}12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right),\\-12\cdot11,\;-12\cdot10,\;-12\cdot9,\;-11\cdot10,\;12\cdot\left(-11\right),\;12\cdot\left(-10\right),\;12\cdot\left(-9\right),\;11\cdot\left(-10\right)\end{array}%%

Das sind die acht Produkte, deren Wert größer als 100 ist, und die achte Produkte, deren Wert kleiner als -100 ist.

Teilaufgabe 3

Es gibt 33 Produkte, deren Betrag kleiner als 4 ist. Diese teilen sich folgendermaßen auf:

  • 9 Produkte: %%(\pm3)\cdot(\pm1),\;\;(\pm2)\cdot(\pm1),\;\;1\cdot(-1)%%

  • 24 Produkte, in denen ein Faktor 0 ist. Dabei wird der Faktor 0 mit einer beliebigen ganzen Zahl zwischen -12 und 12, die nicht Null sein darf, multipliziert.

Berechne den Wert des Terms %%12-2\cdot5^3%% .

Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

1. Möglichkeit

Füge keine Klammern ein.

%%\Rightarrow%% Bestimme also den "richtigen" Wert des Terms.

%%12-2\cdot5^3=%%

Rechne zuerst die Potenz aus.

%%=12-2\cdot125%%

Beachte "Punkt vor Strich".

%%=12-250%%

 

%%=-238%%

 

 

 

2. Möglichkeit

Klammere %%12-2%% ein.

%%\left(12-2\right)\cdot5^3=%%

Rechne zuerst die Klammer und die Potenz aus.

%%=10\cdot125%%

 

%%=1250%%

 

 

 

3. Möglichkeit

Klammere %%2\cdot5^3%% ein.

%%\left[(12-2)\cdot5\right]^3=%%

Rechne die innere Klammer aus.

%%=50^3%%

%%=125.000%%

 

 

 

4. Möglichkeit

Klammere %%12-2\cdot5%% ein.

%%\left(12-2\cdot5\right)^3=%%

Rechne die Klammer aus. Beachte dabei die Punkt-vor-Strich-Regel.

%%=2^3=8%%

 

 

 

5. Möglichkeit

Klammere %%2\cdot5%% ein.

%%12-\left(2\cdot5\right)^3=%%

Rechne erst die Klammer, dann die Potenz aus.

%%=12-1000=-988%%

 

Die Werte der Terme mit verschiedener Klammersetzung der Größe nach geordnet:

  1. %%-988%%

  2. %%-238%%

  3. %%\;\;\;\;\;\;8%%

  4. %%\;1250%%

  5. %%125.000%%

 

 

Aus den Zahlen -48, -32, -24, -3, 2, 6, 15, 30 lassen sich sehr viele berechenbare Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) bilden. Dividend und Divisor müssen dabei jeweils verschiedene Zahlen sein. Suche den Quotienten mit dem …
  1. kleinsten Wert,
  2. größten Wert,
  3. betragskleinsten Wert.

Division

Stelle alle möglichen Kombinationen auf.
Kombinationen mit …

30 als Dividend

30:15=230:15=2
30:6=530:6=5
30:2=1530:2=15
30:(3)=1030:\left(-3\right)=-10

15 als Dividend

15:(3)=515:\left(-3\right)=-5

6 als Dividend

6:2=36:2=3
6:(3)=26:\left(-3\right)=-2

2 als Dividend

-3 als Dividend

-24 als Dividend

24:6=4-24:6=-4
24:2=12-24:2=-12
24:(3)=8-24:\left(-3\right)=8

-32 als Dividend

32:2=16-32:2=-16

-48 als Dividend

48:6=8-48:6=-8
48:2=24-48:2=-24
48:(3)=16-48:\left(-3\right)=16
48:(24)=2-48:\left(-24\right)=2

Teilaufgabe a)

Bestimmung des kleinsten Quotienten.
48:2=24-48:2=-24 ist der gesuchte kleinste Quotient.

Teilaufgabe b)

Bestimmung des größten Quotienten.
48:(3)=16-48:\left(-3\right)=16 ist der gesuchte größte Quotient.

Teilaufgabe c)

Bestimmung des betragsmäßig kleinsten Quotienten.
6:(3)=30:15=2\left|6:\left(-3\right)\right|=30:15=2 ist der gesuchte Quotient.
Berechne den Wert des Terms 3045430-4\cdot5^4.
Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme berechnen

Vorgehensweise: Berechen den angegebenen Term und berechne alle möglichen Werte von Termen, die durch das Setzen von Klammern in den angegebenen Term möglich sind.
Beachte: Zunächst werden die Klammern berechnet, dann Potenzen. Danach werden die nächsten Schritte durchgeführt.
Hier sind nun alle möglichen Terme, die durch Klammersetzung möglich geworden sind, angegeben und nach Größe des Ergebnisses geordnet.
30(45)4=3024104=30160.000=159.97030-(4\cdot5)^4=30-2^4\cdot10^4=30-160.000=-159.970
30454=3010025=302500=2.47030-4\cdot5^4=30-100\cdot25=30-2500=-2.470
(3045)4=104=10.000(30-4\cdot5)^4=10^4=10.000
(304)54=26625=16.250(30-4)\cdot5^4=26\cdot625=16.250
[(304)5]4=1304=16.9002=285.610.000\lbrack(30-4)\cdot5\rbrack^4=130^4=16.900^2=285.610.000

Herbert vergisst eine Klammer, als er die Hausaufgabe von der Tafel abschreibt:

%%82-16-8\cdot\left(-11\right)+11\rbrack%%

Zu Hause überlegt er, wo die fehlende Klammer stehen könnte. Er entscheidet sich für eine Stelle und rechnet. Welche Ergebnisse kann er jeweils erhalten?

In den folgenden Multiplikationspyramiden beinhaltet jeder Baustein das Produkt der Zahlen der beiden Bausteine, auf denen er ruht.

  1. Fülle die Pyramiden aus.

  2. Wie ändert sich die Zahl an der Spitze, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert bzw. mit -2 multipliziert?

  3. In der untersten Reihe einer solchen (vierschichtigen) Pyramide stehen nacheinander die Zahlen 2, 3, 5, und 7.
    Gib die Primfaktorzerlegung der Zahl an der Spitze an!

  4. In der untersten Reihe einer derartigen Pyramide mit 8 Schichten stehen abwechselnd Zahlen größer und kleiner 0. Welches Vorzeichen hat die Zahl an der Spitze?

Teilaufgabe a)

--

Teilaufgabe b)

-- Das Ergebnis bleibt gleich, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert.

Das Ergebnis wird mit 256 multipliziert, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -2 multipliziert.

Teilaufgabe c)

-- Das Ergebnis lautet dann: %%2\cdot3^3\cdot5^3\cdot7%%

Teilaufgabe d)

-- Behauptung: Das Vorzeichen der Zahl an der Spitze ist positiv.

Nachweis: In der achten Schicht wechseln sich die Vorzeichen immer ab. Somit sind die Vorzeichen der Einträge in der siebten Schicht als Produkte einer positiven und einer negativen Zahl alle negativ. Die Einträge der sechsten Schicht sind dann jedoch alle positiv, da sie Produkte zweier negativer Zahlen sind. Da die Produkte positiver Zahlen wieder positiv sind, sind alle Einträge auf den höheren Ebenen wieder positiv. Somit auch das Vorzeichen der Zahl an der Spitze.

Wie viele Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -11, -10,…, -1, 0, 1,…, 10, 11 haben einen …

a) Wert größer als 100?

b) Betrag kleiner als 3?

 

Teilaufgabe a)

Es sind vier Produkte, die einen Wert größer als 100 haben: %%10\cdot11,\;-10\cdot\left(-11\right),\;11\cdot11,\;-11\cdot\left(-11\right)%%

Teilaufgabe b)

Vorgehensweise: Es werden Produkte gesucht, deren Betrag kleiner als 3 ist.

Es gibt 22 Produkte, die %%0%% ergeben: %%0%% multipliziert mit einem beliebigen zweiten Faktor %%\neq0%%. Für diesen beliebigen Faktor gibt es die 22 Möglichkeiten.

Außerdem gibt es 6 weitere Produkte: %%\left(-1\right)\cdot\left(-1\right),\;1\cdot\left(\pm1\right),\;\left(-1\right)\cdot\left(-2\right),\;1\left(\pm2\right)%%.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Insgesamt sind es also 28 Produkte, deren Betrag kleiner als 3 ist.

Es lassen sich auch magische Quadrate bilden, bei denen das Produkt aller Zahlen einer Zeile, Spalte und Diagonale gleich ist:

 

-4

128

-64

512

-32

-2

-16

-8

256

 

  1. Überprüfe alle Produkte.

  2. Konstruiere aus der Vorlage ein magisches %%3\times3-Quadrat%%. Nutze die Beträge der Einträge.

Teilaufgabe a)

Zeilenprodukte:

 

%%(-4)\cdot128\cdot\left(-64\right)=32.768%%

 

%%512\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-2\right)=32.768%%

 

%%(-16)\cdot\left(-8\right)\cdot256=32.768%%

 

Spaltenprodukte:

 

%%(-4)\cdot512\cdot\left(-16\right)=32.768%%

 

%%128\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-8\right)=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-2\right)\cdot256=32.768%%

 

Diagonalenprodukte:

 

%%(-4)\cdot\left(-32\right)\cdot256=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-16\right)=-32.768%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Quadrat ist nicht magisch. Denn es enthält einen Fehler: Das Produkt der Einträge einer Diagonale ist im Gegensatz zu allen anderen Produkten negativ.

Teilaufgabe b)

Folgendes Quadrat ist z. B. magisch:

4

512

16

128

32

8

64

2

256

Subtrahiere die Summe von -16 und 4 vom 8-fachen Quotienten dieser Zahlen.

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

%%=8\cdot\left(-4\right)-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Berechne den Wert der eckigen Klammer.

%%=8\cdot\left(-4\right)-\left(-12\right)=%%

%%=\left(-32\right)-\left(-12\right)=%%

Minus und Minus ergibt Plus. Addiere.

%%=\left(-32\right)+12=%%

%%=\left(-20\right)%%

Verbinde die Zahlen %%-25, -9, 11%% und %%-4%% mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …

  1. positiv bzw. negativ ist,

  2. so groß wie möglich ist,

  3. so klein wie möglich ist,

  4. möglichst nahe bei 0 liegt.

Teilaufgabe 1

Term mit positivem Wert: %%\left(-9\right)\cdot\left(-4\right)-\left(-25\right)\cdot11=311%%

Term mit negativem Wert: %%\left(-25\right)+\left(-9\right)+11+\left(-4\right)=-27%%

Teilaufgabe 2

Term mit maximalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11-\left(-4\right)=2479%%

Teilaufgabe 3

Term mit minimalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11\cdot\left(-4\right)=-9900%%

Teilaufgabe 4

Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt: %%(-25)-11+(-9)\cdot(-4)=0%%

Bilde anhand folgender Sätze einen Term und berechne …

  1. die Differenz aus dem Produkt von %%17%% und %%-4%% und der Zahl %%-38%%.

  2. das Produkt aus der Differenz von %%17%% und %%-4%% und der Zahl %%-38%%.

  3. die Summe aus dem Produkt und der Differenz der Zahlen %%-4%% und %%-38%%.

Teilaufgabe a

%%17,\;-4,\;-38%%

Produkt von 17 und  %%-4%% bilden.

%%17\cdot\left(-4\right)=-68%%

Differenz zu %%-38%% bilden.

%%-68-\left(-38\right)=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-68+38=%%

 

%%=-30%%

 

 

Teilaufgabe b

%%17,\;-4,\;-38%%

Differenz aus 17 und  %%-4%% bilden.

%%17-\left(-4\right)=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=17+4=%%

 

%%=21%%

Produkt mit %%-38%% bilden.

%%21\cdot\left(-38\right)=-798%%

 

 

Teilaufgabe c

%%17,\;-4,\;-38%%

Produkt aus %%-4%% und %%-38%% bilden

%%\left(-4\right)\cdot\left(-38\right)=152%%

Differenz aus %%-4%% und %%-38%% bilden

%%\left(-4\right)-\left(-38\right)=%%

 

%%=\left(-4\right)+38=%%

 

%%=34%%

Summe aus den beiden Ergebnissen bilden.

%%152+34=186%%

 

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