Was ist günstiger: Verzinsung eines Bank-Guthabens zwei Jahre lang mit je 3% (mit Zinsenzins d.h. nach einem Jahr wird der Zins zum Guthaben dazugezählt und im zweiten Jahr mitverzinst), oder 4% im ersten Jahr und 2% im zweiten Jahr (ebenfalls mit Zinseszins)?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung

Hier wird die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: p1=3%;p2=3%p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\% Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr:
K+=K(1+p1){K^+} = K \cdot (1 + p_\text1)
Setze den Zinssatz ein und berechne:
K3%+=K(1+0,03){K_{3\%}^+} = K \cdot (1 + 0{,}03) K3%+=K1,03{K_{3\%}^+} = K \cdot 1{,}03
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert K3%+{K_{3\%}^+} mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
K3%3%+=K3%+(1+p2){K_{3\% \cdot 3\%}^+} = {K_{3\%}^+} \cdot (1 + p_\text2)
Setzte den neuen vermehrten Grundwert K3%+{K_{3\%}^+} ein.
K3%3%+=K1,03(1+p2)K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot (1 + p_\text2)
Setze den Zinssatz ein und berechne.
K3%3%+=K1,03(1+0,03)K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot (1 + 0{,}03)K3%3%+=K1,031,03K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03K3%3%+=K1,0609K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}0609
Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: p1=3%;p2=3%p_\text1 = 3\%\, ;\, p_\text2 = 3\% Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
Dreisatz3%
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert K3%+{K_{3\%}^+} mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
Dreisatz3%3%
K3%3%+=K1,031,03K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}03 \cdot 1{,}03
K3%3%+=K1,0609K_{3\% \cdot 3\%}^+ = K \cdot 1{,}0609
Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: p1=4%;p2=2%p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\% Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
K+=K(1+p1)K^+ = K \cdot (1 + p_\text1)
Setze den Zinssatz ein und berechne.
K4%+=K(1+0,04)K_{4\%}^+ = K \cdot (1 + 0{,}04) K4%+=K1,04K_{4\%}^+ = K \cdot 1{,}04
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert K4%+K_{4\%}^+ mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
K4%2%+=K4%+(1+p2)K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K_{4\%}^+ \cdot (1 + p_2)
Setzte den neuen vermehrten Grundwert K4%+{K_{4\%}^+} ein.
K4%2%+=K1,04(1+p2)K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1{,}04 \cdot (1 + p_2)
Setze den Zinssatz ein und brechne.
K4%2%+=K1,04(1+0,02)K_{4\% \cdot 2\%} ^+ = K \cdot 1{,}04 \cdot (1 + 0{,}02)K4%2%+=K1,041,02K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}02K4%2%+=K1,0608K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}0608
Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.
        \;\;\Rightarrow\;\; Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.
Gegeben: p1=4%;p2=2%p_\text1 = 4\%\, ;\, p_\text2 = 2\% Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.
Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.
Dreisatz4%
Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert K4%+{K_{4\%}^+} mit dem du rechnest.
Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.
Dreisatz4%2%
K4%2%+=K1,041,02K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}04 \cdot 1{,}02
K4%2%+=K1,0608K_{4\% \cdot 2\%} ^+= K \cdot 1{,}0608
Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.
        \;\;\Rightarrow\;\; Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.