Aufgaben

Berechne ein Drittel von 0,03.

  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(-5\right)\cdot\left(-\frac12\right)^2+4\frac12:\left(-3\right)+2,8%% .

  2. Carmen setzt um (–3) und 2,8 eine weitere Klammer. Ist der Wert des neuen Terms positiv oder negativ? Begründe deine Antwort ohne erneut zu rechnen.

Teilaufgabe a)

%%\left(-5\right)\cdot\left(-\frac12\right)^2+4\frac12:\left(-3\right)+2,8=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen und Gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln.

%%=\left(-\frac51\right)\cdot\left(-\frac12\right)^2+\frac92:\left(-\frac31\right)+\frac{14}5%%

Zweiter Bruch potenzieren .

%%=\left(-\frac51\right)\cdot\frac14+\frac92:\left(-\frac31\right)+\frac{14}5%%

%%=\left(-\frac54\right)+\left(-\frac96\right)+\frac{14}5%%

Zweiter Bruch kürzen.

%%=\left(-\frac54\right)+\left(-\frac32\right)+\frac{14}5%%

Brüche auf den gleichen Nenner (40) bringen.

%%=\left(-\frac{50}{40}\right)+\left(-\frac{60}{40}\right)+\frac{112}{40}%%

%%=\frac1{20}%%

 


Teilaufgabe b)

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%\underbrace{\left(-5\right)\cdot\left(-\frac12\right)^2}_{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}+\underbrace{4\frac12\underset{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}{:\underbrace{\left\{\left(-3\right)+2,8\right\}}}}_{\mathrm{ist}\;\mathrm{negativ}}=\mathrm{negativ}\;+\;\mathrm{negativ}=\;\mathrm{negativ}%%

Beschreibe alle Fehler, die Klaus gemacht hat. Berechne anschließend den richtigen Wert.

$$\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac{7-5}{12-8}\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac24\right]\cdot2=\frac52:\frac12=\frac25\cdot \frac12=\frac15=0,2$$

1) Fehlerbeschreibung

 

%%\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4=%%

Punkt vor Strich, sowie die Klammer zuerst auszurechnen wird nicht beachtet.

%%=\left[2,5:\left(\frac{7-5}{12-8}\right)\right]\cdot1,6+0,4=%%

Das korrekte Subtrahieren von Brüchen , sowie Punkt vor Strich wird nicht beachtet.

%%=\left[2,5:\frac24\right]\cdot2=%%

Das Multiplizieren mit 2 wird vergessen hinzuschreiben.

%%=\frac52:\frac12=%%

Beim Dividieren von 2 Brüchen, wird mit dem Kehrwert des 2. (!) Bruches mutlipliziert. Hier wird mit dem 1. multipliziert.

%%=\frac52 \cdot \frac12=%%

Richtig.


2) Korrigieren der Aufgabe

 

%%\left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

Hauptnenner bilden für Brüche in der Klammer und Brüche auf diesen erweitern .

%%=\left[2,75-0,25:\left(\frac{14}{24}-\frac{15}{24}\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

 

%%=\left[2,75-0,25:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot1,6+0,4%%

Umschreiben aller Dezimalzahlen in Brüche.

%%=\left[\frac{11}4-\frac14:\left(-\frac1{24}\right)\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.

%%=\left[\frac{11}4-\frac14\cdot\left(-\frac{24}1\right)\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Multiplikation in der Klammer.

%%=\left[\frac{11}4+\frac{24}4\right]\cdot\frac85+\frac25%%

Klammer berechnen.

%%=\frac{35}4\cdot\frac85+\frac25%%

%%=\frac{14}{1}+\frac25%%

Umschreiben in Dezimaldarstellung.

%%=14+0,4%%

%%=14,4%%

Egon bekommt folgende Aufgabe: %%7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)%% .

Er denkt erst nach, bevor er rechnet. Dann ruft er: ”Die Aufgabe kann man doch im Kopf ausrechnen, da kommt %%7\frac13%% heraus!".

Stimmt das? Begründe deine Ansicht.

%%7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)=7\frac13:0%%

Die Division durch Null ist nicht erlaubt! Egon hat nicht Recht.

Der Lösungsweg sieht wie folgt aus: 

Zuerst wird erst einmal das Innere der Klammer betrachtet. Da wir wissen, dass Klammern in einem mathematischen Ausdruck immer den höchsten Stellenwert haben. 

Wer mit den Brüchen seine Probleme hat, darf diese auch gerne als Dezimalzahl schreiben. 

Für die Klammer in Dezimal ergibt sich dann folgendes:

(2,5-2,5)

Der Wert in der Klammer wird also 0. Da wir nicht durch Null teilen dürfen, bleibt also folglich nur der Ausdruck vor der Klammer übrig. 

 

Kleiner Hinweiß: Warum darf man nicht durch Null teilen ? 

 

Angenommen wir haben diesen Bruch: 

%%\frac{10}5%%  Als Ergebnis würden wir eine 2 Erhalten, da 10 geteilt durch 5 gleich 2 ergibt. 

Im Umkehrschluss können wir dann logischweise auch sagen 2 mal 5 ergibt 10.

Würde der Bruch nun wie folgt aussehen: 

%%\frac{10}0%%  würde das bedeuten, dass wir 10 geteilt durch 0 erhalten. Und wir wissen jede Zahl mit Null Multipliziert ergibt wieder Null. 

Weil es keinen Umkehrschluss gibt, ist die Division durch Null nicht erlaubt. 

Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Drittel, so ist dies der 24. Bruchteil einer gesuchten Zahl. Wie lautet die Zahl?

Stelle einen Term auf, wobei %%x%% die gesuchte Größe ist.

Übersetze dabei das Wort "von" mit "%%\cdot%%". Beachte die Regel "Punkt vor Strich"

%%\frac13 \cdot \frac14+\frac12 \cdot \frac15- \frac1{10} \cdot \frac23=\frac1{24}\cdot x%%

Multipliziere die einzelnen Brüche.

%%\frac1{12}+\frac1{10}-\frac2{30}=\frac x{24}%%

%%|\cdot 24%%

Addiere die einzelnen Brüche.

%%2+\frac45=x%%

Wandle in gemischten Bruch um.

%%x=2\frac45%%

Gegeben ist die Formel %%\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}%% .

a. Wie verändert sich a, wenn c kleiner wird?

b. Werden folgenden Zusammenhänge durch die Formel beschrieben?

     A: Die Gesamtkosten b für einen Mietwagen setzen sich zusammen aus der Zahl a der gefahrenen Kilometer und dem Preis c für einen Kilometer.

     B: Der Anhalteweg a berechnet sich aus dem Bremsweg b und dem Reaktionsweg c.

c. Gib Sachzusammenhänge an, die durch die Formel %%\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}%% beschrieben werden können.

Teilaufgabe a)

Beispiel: a=5; b=10; c=2

%%\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}%%

%%5=\frac{10}2%%

Verkleinerung von c: c'=1

%%\mathrm a`=\frac{\mathrm b}{\mathrm c`}%%

%%10=\frac{10}1%%

a ' =10

%%\;\;\Rightarrow%% a wird größer, wenn c kleiner wird.

Teilaufgabe b)

A)

%%\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}%%

Nach b umstellen.

%%\mathrm b=\mathrm a\cdot\mathrm c%%

%%\Rightarrow%% Der Zusammenhang wird durch die Formel beschrieben, da sich die Gesamtkosten b durch die Multiplikation von a und c berechnet.

B)

%%\mathrm a=\frac{\mathrm b}{\mathrm c}%%

Anhalteweg a = Bremsweg b + Reaktionsweg c

%%\;\;\rightarrow%% Der Zusammenhang wird nicht durch die Formel beschrieben, da sich der Anhalteweg durch die Addition (und nicht durch die Division!!) von Bremsweg und Reaktionsweg berechnet.

Teilaufgabe c)

Beispiel: Die

Geschwindigkeit v (a) lässt sich berechnen durch die Division der Strecke s (b) durch die Zeit t (c).

$$v=\frac st$$

$$a=\frac bc$$

Umstellen nach a.

%%\Rrightarrow%% Der Zusammenhang lässt sich durch die Formel beschreiben

%%\frac A7\cdot2\frac13=B%%

Die Platzhalter A und B vertreten natürlich Zahlen.

 

  1. Berechne A für %%B=357%% .

  2. Berechne B für %%A=111%% .

  3. Uwe behauptet: "Wenn du für den Platzhalter A ein Vielfaches von 7 einsetzt, geht die Rechnung immer auf.“ Eva widerspricht: "Nur, wenn du für den Platzhalter A eine durch . . . teilbare Zahl einsetzt, geht die Rechnung auf.“

Begründe, dass Uwe nicht Recht hat.

Was hat Eva gemeint? Begründe, dass sie Recht hat.

Teilaufgabe a)

%%\frac A7\cdot2\frac13=357%%

Den gemischten Bruch umwandeln.

%%\frac A7\cdot\frac73=357%%

Kürzen und nach A auflösen.

%%A=357\cdot3=1071%%

 

Teilaufgabe b)

%%\frac{111}7\cdot\frac73=B%%

Kürzen.

%%B=37%%

Teilaufgabe c)

Beispiel %%A=35%% :

%%\frac{35}7\cdot2\frac13=5\cdot\frac73=\frac{35}3=B%%

Weil aber B eine natürliche Zahl sein soll, ist damit Uwes Behauptung widerlegt.

35 ist ein Vielfaches von 7.

%%\frac A7\cdot\frac73=B%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;\frac A3=B%%

Also musst du für den Platzhalter A eine durch drei teilbare Zahl einsetzen. Dann kommt links und damit auch für den Platzhalter B immer eine natürliche Zahl heraus. Deshalb hat Eva recht.

Ist das Wasser in einem Spülbecken zu heiß, so lässt man kaltes Wasser nachlaufen, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Werden beispielsweise 10 Liter Wasser der Temperatur 42 °C mit 2 Liter Wasser der Temperatur 12 °C gemischt, so kann die Mischtemperatur mit folgender Formel berechnet werden:

 

Mischtemperatur %%=\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ \mathrm{C}+\frac2{10+2}\cdot12^\circ \mathrm C%%

  1. Berechne die Mischtemperatur in obigem Beispiel.

  2. Welche Mischtemperatur stellt sich ein, wenn 2,5 Liter Wasser der Temperatur 27,0 °C mit 2,0 Liter Wasser der Temperatur 13,5 °C gemischt werden?

Teilaufgabe a)

%%\frac{10}{10+2}\cdot 42°C+\frac{2}{10+2}\cdot 12°C=%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{10}{12}\cdot 42°C+\frac2{12}\cdot12°C=%%

%%=\frac{420}{12}°C+\frac{24}{12}°C=%%

%%=\frac{444}{12}=%%

Mit 4 Kürzen.

%%\frac{111}3°C=37°C%%

Teilaufgabe b)

%%\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ C+\frac2{10+2}\cdot12^\circ C%%

Neue Angaben in die Formel von Teilaufgabe a einsetzen.

%%\frac{2,5}{2,5+2}\cdot27^\circ C+\frac2{2,5+2}\cdot13,5^\circ C%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{2,5}{4,5}\cdot27^\circ C+\frac2{4,5}\cdot13,5^\circ C%%

Umformen der Dezimalzahlen in Brüche .

%%=\frac{5}{2}: \frac 92 \cdot27^\circ C+ 2 : \frac92\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{2}\cdot \frac 29 \cdot27^\circ C+ \frac 21 \cdot \frac29\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{9} \cdot27^\circ C+ \frac49\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=15°C+6°C=%%

Gegeben ist der Term %%\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)%% .

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der ersten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

  3. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der zweiten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

Teilaufgabe 1

$$\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)=$$

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

$$=\left(\frac92:3\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

Bruch in der Klammer dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

2-te Klammer ausrechnen, indem man den Hauptnenner von %%4%% und %%\frac{13}2%% bildet und auf diesen erweitert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(\frac82-\frac{13}2\right)$$

Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(-\frac52\right)$$

$$=1:\left(-\frac52\right)$$

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=-\frac25$$

Teilaufgabe 2

Das Ergebnis ändert sich nicht, da sich die 10 wegkürzt!

Teilaufgabe 3

Das Ergebnis wird um %%\frac1{10}%% kleiner, da der Divisor um 10 größer wird. (Man kann die 10 ausklammern)

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