Aufgaben

Gib alle berechenbaren Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) an, die sich aus den Zahlen -7, -4, -1, 0, 12, 35 bilden lassen und berechne ihre Werte.

Bestimme alle möglichen Quotienten mit einem festen Dividenden. Gehe alle möglichen Dividenden durch.

Die Reihenfolge ist hier von den großen zu den kleinen Zahlen absteigend geordnet.

35 als Dividend

 

%%35:\left(-7\right)=-5%%

%%35:\left(-1\right)=-35%%

%%35:35=1%%

 

%%\Rightarrow\;%% Dies sind alle möglichen Quotienten, die sich mit Zahlen aus der betrachteten Menge von Zahlen und Dividend 35 bestimmen lassen.

Denn durch 0 darf nie geteilt werden und bei der Division einer ungeraden Zahl durch eine gerade Zahl gibt es einen Rest ungleich 0.

 

 

12 als Dividend

 

%%12:\left(-4\right)=-3%%

%%12:\left(-1\right)=-12%%

%%12:12=1%%

 

 

 

0 als Dividend

 

%%0:35=0%%

%%0:12=0%%

%%0:\left(-1\right)=0%%

%%0:\left(-4\right)=0%%

%%0:\left(-7\right)=0%%

 

 

 

-1 als Dividend

 

%%-1:(-1)=1%%

 

 

-4 als Dividend

 

%%\left(-4\right):\left(-1\right)=4%%

%%(-4):(-4)=1%%

 

 

 

-7 als Dividend

 

%%\left(-7\right):\left(-1\right)=7%%

%%(-7):(-7)=1%%

 

Zusammenfassung

Alle möglichen Quotientenwerte sind:

%%-35,\;-12,\;-5,\;-3,\;0,\;1%% und %%7%%.

Gib alle Teiler der Zahl -30 an.

Positive Teiler von -30

 

%%30%%

%%-30:30=-1%%

%%15%%

%%-30:15=-2%%

%%10%%

%%-30:10=-3%%

%%6%%

%%-30:6=-5%%

%%5%%

%%-30:5=-6%%

%%3%%

%%-30:3=-10%%

%%2%%

%%-30:2=-15%%

%%1%%

%%-30:1=-30%%

 

 

Negative Teiler von -30

 

%%-30%%

%%-30:\left(-30\right)=1%%

%%-15%%

%%-30:\left(-15\right)=2%%

%%-10%%

%%-30:\left(-10\right)=3%%

%%-6%%

%%-30:\left(-6\right)=5%%

%%-5%%

%%-30:\left(-5\right)=6%%

%%-3%%

%%-30:\left(-3\right)=10%%

%%-2%%

%%-30:\left(-2\right)=15%%

%%-1%%

%%-30:\left(-1\right)=30%%

Abschließende Übersicht:

Die Teiler der ganzen Zahl %%-30%% sind:

%%\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm5\;\pm6,\;\pm10,\;\pm15,\;\pm30%%

Gegeben sind Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -12, -11…, -1, 0, 1,…, 11, 12.

Dabei zählen z. B. %%11\cdot12%% und %%12\cdot11%% als nur ein Produkt.

  1. Wie viele haben einen Wert größer als 100?

  2. Wie viele haben einen Betrag größer als 100?

  3. Wie viele haben einen Betrag kleiner als 4?

Teilaufgabe 1

Es gibt acht Produkte mit einem Wert größer als 100: %%12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right)%%

Teilaufgabe 2

Es gibt 16 Produkte, deren Betrag größer als 100 ist:

%%\begin{array}{l}12\cdot11,\;12\cdot10,\;12\cdot9,\;11\cdot10,\;-12\cdot\left(-11\right),\;-12\cdot\left(-10\right),\;-12\cdot\left(-9\right),\;-11\cdot\left(-10\right),\\-12\cdot11,\;-12\cdot10,\;-12\cdot9,\;-11\cdot10,\;12\cdot\left(-11\right),\;12\cdot\left(-10\right),\;12\cdot\left(-9\right),\;11\cdot\left(-10\right)\end{array}%%

Das sind die acht Produkte, deren Wert größer als 100 ist, und die achte Produkte, deren Wert kleiner als -100 ist.

Teilaufgabe 3

Es gibt 33 Produkte, deren Betrag kleiner als 4 ist. Diese teilen sich folgendermaßen auf:

  • 9 Produkte: %%(\pm3)\cdot(\pm1),\;\;(\pm2)\cdot(\pm1),\;\;1\cdot(-1)%%

  • 24 Produkte, in denen ein Faktor 0 ist. Dabei wird der Faktor 0 mit einer beliebigen ganzen Zahl zwischen -12 und 12, die nicht Null sein darf, multipliziert.

Berechne den Wert des Terms %%12-2\cdot5^3%% .

Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

1. Möglichkeit

Füge keine Klammern ein.

%%\Rightarrow%% Bestimme also den "richtigen" Wert des Terms.

%%12-2\cdot5^3=%%

Rechne zuerst die Potenz aus.

%%=12-2\cdot125%%

Beachte "Punkt vor Strich".

%%=12-250%%

 

%%=-238%%

 

 

 

2. Möglichkeit

Klammere %%12-2%% ein.

%%\left(12-2\right)\cdot5^3=%%

Rechne zuerst die Klammer und die Potenz aus.

%%=10\cdot125%%

 

%%=1250%%

 

 

 

3. Möglichkeit

Klammere %%2\cdot5^3%% ein.

%%\left[(12-2)\cdot5\right]^3=%%

Rechne die innere Klammer aus.

%%=50^3%%

%%=125.000%%

 

 

 

4. Möglichkeit

Klammere %%12-2\cdot5%% ein.

%%\left(12-2\cdot5\right)^3=%%

Rechne die Klammer aus. Beachte dabei die Punkt-vor-Strich-Regel.

%%=2^3=8%%

 

 

 

5. Möglichkeit

Klammere %%2\cdot5%% ein.

%%12-\left(2\cdot5\right)^3=%%

Rechne erst die Klammer, dann die Potenz aus.

%%=12-1000=-988%%

 

Die Werte der Terme mit verschiedener Klammersetzung der Größe nach geordnet:

  1. %%-988%%

  2. %%-238%%

  3. %%\;\;\;\;\;\;8%%

  4. %%\;1250%%

  5. %%125.000%%

 

 

Aus den Zahlen -48, -32, -24, -3, 2, 6, 15, 30 lassen sich sehr viele berechenbare Quotienten (d. h. Division ohne Rest möglich) bilden. Dividend und Divisor müssen dabei jeweils verschiedene Zahlen sein. Suche den Quotienten mit dem …

  1. kleinesten Wert,

  2. größten Wert,

  3. betragskleinsten Wert.

Stelle alle möglichen Kombinationen auf.

Kombinationen mit …

30 als Dividend

%%30:15=2%%

 

%%30:6=5%%

 

%%30:2=15%%

 

%%30:\left(-3\right)=-10%%

 

 

 

15 als Dividend

 

%%15:\left(-3\right)=-5%%

 

 

 

6 als Dividend

 

%%6:2=3%%

 

%%6:\left(-3\right)=-2%%

 

 

 

2 als Dividend

 

 

 

-3 als Dividend

 

 

 

-24 als Dividend

 

%%-24:6=-4%%

 

%%-24:2=-12%%

 

%%-24:\left(-3\right)=8%%

 

 

 

-32 als Dividend

 

%%-32:2=-16%%

 

 

 

-48 als Dividend

 

%%-48:6=-8%%

 

%%-48:2=-24%%

 

%%-48:\left(-3\right)=16%%

 

%%-48:\left(-24\right)=2%%

 

Teilaufgabe a)

Bestimmung des kleinsten Quotienten.

%%-48:2=-24%% ist der gesuchte kleinste Quotient.

Teilaufgabe b)

Bestimmung des größten Quotienten.

%%-48:\left(-3\right)=16%% ist der gesuchte größte Quotient.

Teilaufgabe c)

Bestimmung des betragsmäßig kleinsten Quotienten.

%%\left|6:\left(-3\right)\right|=30:15=2%% ist der gesuchte Quotient.

Berechne den Wert des Terms %%30-4\cdot5^4%%.

Durch das Setzen von Klammern kann man die Reihenfolge der Rechenschritte verändern. Berechne alle möglichen Werte des Terms, die durch das Setzen von Klammern entstehen. Ordne die Ergebnisse der Größe nach.

Vorgehensweise: Berechen den angegebenen Term und berechne alle möglichen Werte von Termen, die durch das Setzen von Klammern in den angegebenen Term möglich sind.

Beachte: Zunächst werden die Klammern berechnet, dann Potenzen. Danach werden die nächsten Schritte durchgeführt.

Hier sind nun alle möglichen Terme, die durch Klammersetzung möglich geworden sind, angegeben und nach Größe des Ergebnisses geordnet.

%%30-(4\cdot5)^4=30-2^4\cdot10^4=30-160.000=-159.970%%

%%30-4\cdot5^4=30-100\cdot25=30-2500=-2.470%%

%%(30-4\cdot5)^4=10^4=10.000%%

%%(30-4)\cdot5^4=26\cdot625=16.250%%

%%\lbrack(30-4)\cdot5\rbrack^4=130^4=16.900^2=285.610.000%%

Herbert vergisst eine Klammer, als er die Hausaufgabe von der Tafel abschreibt:

%%82-16-8\cdot\left(-11\right)+11\rbrack%%

Zu Hause überlegt er, wo die fehlende Klammer stehen könnte. Er entscheidet sich für eine Stelle und rechnet. Welche Ergebnisse kann er jeweils erhalten?

Alle Möglichkeiten Bestimmen

 

Annahme: vor der 82 oder der 11 würde die Klammer keinen Sinn machen. 

%%82-\underset{1.}\lbrack16-\underset{2.}\lbrack8\cdot\underset{3.}\lbrack\left(-11\right)+11\rbrack%%

 

 

 

1. Möglichkeit

 

%%82-\left[16-8\cdot\left(-11\right)+11\right]=%%

In der Klammer 8 mit %%-11%% multiplizieren .

%%=82-\left[16-\left(-88\right)+11\right]=%%

Minus und Minus ergibt Plus.

%%=82-\left[16+88+11\right]=%%

In der Klammer addieren .

%%=82-115=%%

%%=-33%%

 

 

 

2. Möglichkeit

 

  %%82-16-\left[8\cdot\left(-11\right)+11\right]=%%

Vor der Klammer subtrahieren .

In der Klammer 8 mit %%-11%% multiplizieren .

%%=66-\left[-88+11\right]=%%

In der Klammer addieren .

  %%=66-\left[-77\right]=%%

Minus und Minus ergibt Plus.

%%=66+77=%%

%%=143%%

 

 

 

3. Möglichkeit

 

  %%82-16-8\cdot\left[\left(-11\right)+11\right]=%%

Vor der Klammer subtrahieren .

In der Klammer addieren .

%%=66-8\cdot\left[0\right]=%%

 

%%=66%%

 

In den folgenden Multiplikationspyramiden beinhaltet jeder Baustein das Produkt der Zahlen der beiden Bausteine, auf denen er ruht.

  1. Fülle die Pyramiden aus.

  2. Wie ändert sich die Zahl an der Spitze, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert bzw. mit -2 multipliziert?

  3. In der untersten Reihe einer solchen (vierschichtigen) Pyramide stehen nacheinander die Zahlen 2, 3, 5, und 7.
    Gib die Primfaktorzerlegung der Zahl an der Spitze an!

  4. In der untersten Reihe einer derartigen Pyramide mit 8 Schichten stehen abwechselnd Zahlen größer und kleiner 0. Welches Vorzeichen hat die Zahl an der Spitze?

Teilaufgabe a)

--

Teilaufgabe b)

-- Das Ergebnis bleibt gleich, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -1 multipliziert.

Das Ergebnis wird mit 256 multipliziert, wenn man jede Zahl in der untersten Reihe mit -2 multipliziert.

Teilaufgabe c)

-- Das Ergebnis lautet dann: %%2\cdot3^3\cdot5^3\cdot7%%

Teilaufgabe d)

-- Behauptung: Das Vorzeichen der Zahl an der Spitze ist positiv.

Nachweis: In der achten Schicht wechseln sich die Vorzeichen immer ab. Somit sind die Vorzeichen der Einträge in der siebten Schicht als Produkte einer positiven und einer negativen Zahl alle negativ. Die Einträge der sechsten Schicht sind dann jedoch alle positiv, da sie Produkte zweier negativer Zahlen sind. Da die Produkte positiver Zahlen wieder positiv sind, sind alle Einträge auf den höheren Ebenen wieder positiv. Somit auch das Vorzeichen der Zahl an der Spitze.

Wie viele Produkte aus zwei verschiedenen der Zahlen -11, -10,…, -1, 0, 1,…, 10, 11 haben einen …

a) Wert größer als 100?

b) Betrag kleiner als 3?

 

Teilaufgabe a)

Es sind vier Produkte, die einen Wert größer als 100 haben: %%10\cdot11,\;-10\cdot\left(-11\right),\;11\cdot11,\;-11\cdot\left(-11\right)%%

Teilaufgabe b)

Vorgehensweise: Es werden Produkte gesucht, deren Betrag kleiner als 3 ist.

Es gibt 22 Produkte, die %%0%% ergeben: %%0%% multipliziert mit einem beliebigen zweiten Faktor %%\neq0%%. Für diesen beliebigen Faktor gibt es die 22 Möglichkeiten.

Außerdem gibt es 6 weitere Produkte: %%\left(-1\right)\cdot\left(-1\right),\;1\cdot\left(\pm1\right),\;\left(-1\right)\cdot\left(-2\right),\;1\left(\pm2\right)%%.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Insgesamt sind es also 28 Produkte, deren Betrag kleiner als 3 ist.

Es lassen sich auch magische Quadrate bilden, bei denen das Produkt aller Zahlen einer Zeile, Spalte und Diagonale gleich ist:

 

-4

128

-64

512

-32

-2

-16

-8

256

 

  1. Überprüfe alle Produkte.

  2. Konstruiere aus der Vorlage ein magisches %%3\times3-Quadrat%%. Nutze die Beträge der Einträge.

Teilaufgabe a)

Zeilenprodukte:

 

%%(-4)\cdot128\cdot\left(-64\right)=32.768%%

 

%%512\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-2\right)=32.768%%

 

%%(-16)\cdot\left(-8\right)\cdot256=32.768%%

 

Spaltenprodukte:

 

%%(-4)\cdot512\cdot\left(-16\right)=32.768%%

 

%%128\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-8\right)=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-2\right)\cdot256=32.768%%

 

Diagonalenprodukte:

 

%%(-4)\cdot\left(-32\right)\cdot256=32.768%%

 

%%(-64)\cdot\left(-32\right)\cdot\left(-16\right)=-32.768%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Quadrat ist nicht magisch. Denn es enthält einen Fehler: Das Produkt der Einträge einer Diagonale ist im Gegensatz zu allen anderen Produkten negativ.

Teilaufgabe b)

Folgendes Quadrat ist z. B. magisch:

4

512

16

128

32

8

64

2

256

Subtrahiere die Summe von -16 und 4 vom 8-fachen Quotienten dieser Zahlen.

%%8\cdot\left[\left(-16\right):4\right]-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

%%=8\cdot\left(-4\right)-\left[\left(-16\right)+4\right]=%%

Berechne den Wert der eckigen Klammer.

%%=8\cdot\left(-4\right)-\left(-12\right)=%%

%%=\left(-32\right)-\left(-12\right)=%%

Minus und Minus ergibt Plus. Addiere.

%%=\left(-32\right)+12=%%

%%=\left(-20\right)%%

Verbinde die Zahlen %%-25, -9, 11%% und %%-4%% mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …

  1. positiv bzw. negativ ist,

  2. so groß wie möglich ist,

  3. so klein wie möglich ist,

  4. möglichst nahe bei 0 liegt.

Teilaufgabe 1

Term mit positivem Wert: %%\left(-9\right)\cdot\left(-4\right)-\left(-25\right)\cdot11=311%%

Term mit negativem Wert: %%\left(-25\right)+\left(-9\right)+11+\left(-4\right)=-27%%

Teilaufgabe 2

Term mit maximalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11-\left(-4\right)=2479%%

Teilaufgabe 3

Term mit minimalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11\cdot\left(-4\right)=-9900%%

Teilaufgabe 4

Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt: %%(-25)-11+(-9)\cdot(-4)=0%%

Bilde anhand folgender Sätze einen Term und berechne …

  1. die Differenz aus dem Produkt von %%17%% und %%-4%% und der Zahl %%-38%%.

  2. das Produkt aus der Differenz von %%17%% und %%-4%% und der Zahl %%-38%%.

  3. die Summe aus dem Produkt und der Differenz der Zahlen %%-4%% und %%-38%%.

Teilaufgabe a

%%17,\;-4,\;-38%%

Produkt von 17 und  %%-4%% bilden.

%%17\cdot\left(-4\right)=-68%%

Differenz zu %%-38%% bilden.

%%-68-\left(-38\right)=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=-68+38=%%

 

%%=-30%%

 

 

Teilaufgabe b

%%17,\;-4,\;-38%%

Differenz aus 17 und  %%-4%% bilden.

%%17-\left(-4\right)=%%

Minus und Minus gibt Plus.

%%=17+4=%%

 

%%=21%%

Produkt mit %%-38%% bilden.

%%21\cdot\left(-38\right)=-798%%

 

 

Teilaufgabe c

%%17,\;-4,\;-38%%

Produkt aus %%-4%% und %%-38%% bilden

%%\left(-4\right)\cdot\left(-38\right)=152%%

Differenz aus %%-4%% und %%-38%% bilden

%%\left(-4\right)-\left(-38\right)=%%

 

%%=\left(-4\right)+38=%%

 

%%=34%%

Summe aus den beiden Ergebnissen bilden.

%%152+34=186%%

 

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