Der kleine Jakob bekam zur Geburt im Jahr 2001 von seiner Oma ein Sparbuch über 150 DM geschenkt. Bei der Euro-Umstellung füllte die Oma den entstehenden „krummen“ Geldbetrag durch eine Einzahlung auf 100 € auf. Ansonsten wurde kein Geld mehr eingezahlt. Das Guthaben auf Jakobs Konto hat sich aber trotzdem etwas vermehrt, weil er am Ende jedes Jahres von der Bank Zinsen bekommt.

 

 

a. Wie viel Prozent Zinsen hat Jakob für sein Guthaben im Jahr 2002 bekommen?
(Man sagt hierzu auch: „Welchen Zinssatz hat er im Jahr bekommen?“)

b. War der Zinssatz im Jahr 2004 höher oder niedriger als im Jahr 2002? Begründe deine Antwort.

c. Die Zinsen für das Jahr 2005 sind noch nicht im Sparbuch eingetragen. Der Zinssatz beträgt 1,55 %. Berechne Jakobs Guthaben zum 30.12.2005.

 

Gegeben:
Kontoguthaben am Anfang: %%100\,€\widehat=100\% %%

Gesucht:
Zinssatz

Kontoguthaben nach erstem Zins %%=102\,€%%

Berechne die Zinsen im Jahr 2002

Zinsen: %%102\,€-100\,€ =2\,€%%

Berechne den Zinssatz

DreisatzJakobsparbucha

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er hat %%2\% %% Zinsen bekommen.

Gegeben:
Kontoguthaben am Anfang: %%100\,€\widehat=100\% %%

Kontoguthaben nach erstem Zins %%=102\,€%%

Stelle die Formel für den Zinssatz auf

%%Z=p\cdot K%%

Teile durch K

%%\Rightarrow p = \frac ZK%%

Berechne den Zinssatz, indem du die Zinsen und das Kapital einsetzt.

%%p= \frac {2\,€} {100\,€} = \frac 2{100} = 2\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er hat %%2\% %% Zinsen bekommen.

Teilaufgabe b

Gegeben:
Zins im Jahr 2004: %%2\,€%%

Gesucht:
Zinssatz

Kontoguthaben im Jahr %%2004%% (vor Zins am Ende von %%2004%% ):

%%104\,€\widehat=100\% %%

Berechne den Zinssatz

DreisatzJakobsSparbuchb

Der Zinssatz im Jahr 2002 betrug: %%2\% %%.

%%1,92\%<2\% %%

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Gegeben:
Zins im Jahr 2004: %%2\,€%%

Kontoguthaben im Jahr %%2004%% (vor Zins am Ende von %%2004%% ): %%104\,€%%

Stelle die Formel für den Zinssatz auf

%%Z=p\cdot K%%

Teile durch K

%%\Rightarrow p = \frac ZK%%

Berechne den Zinssatz, indem du die Zinsen und das Kapital einsetzt.

%%p= \frac {2\,€} {104\,€} = \frac 2{104} = 1,92\% %%

Der Zinssatz im Jahr 2002 betrug: %%2\% %%.

%%1,92\%<2\% %%

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Alternative Lösung durch Argumentation

Im Jahr 2002 bekam Jacob 2€ Zinsen bei einem Kapital von 100€.
Im Jahr 2004 bekam Jacob 2€ Zinsen bei einem Kaptial von 104€.

Da Jacob in beiden Jahren die gleiche Menge an Zinsen bekam, 2004 sein Kapital aber größer war, muss der Zinssatz 2004 kleiner sein.

Das ist auch an der Formel zu erkennen:
%%p=\frac Z K%%
Im Jahr 2004 ist %%K%% größer als 2002. Somit ist %%p%% kleiner.

%%\Rightarrow%%   Der Zins war im Jahr 2004 niedriger als im Jahr 2002.

Teilaufgabe c

Gegeben:
Guthaben im Jahr %%2005%%: %%106\,€\widehat=100\% %%
Zinssatz %%2005%%: %%1,55\% %%

Dies ist das Guthaben vor dem Zins der am Ende des Jahres dazukommt.

Gesucht:
Kaptital am 30.12.2005

Berechne die Zinsen.

DreisatzJakobsSparbuchc

Addiere den errechneten Wert zum Guthaben.

%%106\,€+1,64\,€=107,64\,€%%

  %%\Rightarrow%%   Jakobs Guthaben betrug am 30.12.2005 %%107,64\,€%% .

Gegeben:
Guthaben im Jahr %%2005%%: %%106\,€\widehat=100\% %%
Zinssatz %%2005%%: %%1,55\% %%

Dies ist das Guthaben vor dem Zins der am Ende des Jahres dazukommt.

Gesucht:
Kaptital am 30.12.2005

Stelle die Formel für die Zinsrechnung auf.

%%Z=p \cdot K%%

Berechne die Zinsen indem du den Zinssatz und das Kapital einsetzt.

%%Z=1,55\% \cdot 106\,€ =0,0155 \cdot 106\,€ = 1,64\,€%%

Addiere den errechneten Wert zum Guthaben.

%%106\,€+1,64\,€=107,64\,€%%

  %%\Rightarrow%%   Jakobs Guthaben betrug am 30.12.2005 %%107,64\,€%% .