Aufgaben

Berechne den Durchschnitt dieser Zahlen

Die Klasse 7a des Serlo Gymnasiums hat eine Mathe Schulaufgabe zurückbekommen. Die Notenverteilung ist in der Tabelle eingetragen.

%%\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \mathrm{Note} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \mathrm{Häufigkeit} & 2 & 7 & 12 & 10 & 4 & 0 \end{array}%%

  1. Wieviele Schüler haben an der Schulaufgabe mitgeschrieben?

  2. Berechne den Notendurchschnitt!

Teilaufgabe 1:

Addiere die Häufigkeiten aller Noten in der Tabelle.

%%2+7+12+10+4+0=35%%

Also haben 35 Schüler an der Schulaufgabe teilgenommen.

Teilaufgabe 2:

Multipliziere jede Note mit ihrer Häufigkeit, addiere die Ergebnisse und teile durch die Anzahl der Schüler, die mitgeschrieben haben.

%%\dfrac{2\cdot1+7\cdot2+12\cdot3+10\cdot4+4\cdot5+0\cdot6}{35}=\dfrac{112}{35}=3.2%%

Die Durchschnittsnote in der Klasse ist also 3.2.

Das arithmetische Mittel ("Durchschnitt") der fünf Zahlen a, b, c, d, e ist 95 und das arithmetische Mittel von a, b, e ist 100.

Was ist das arithmetische Mittel von c und d?

Das arithmetische Mittel der Zahlen ist die Summe aller Zahlen, geteilt durch die Anzahl der Zahlen. Also ist die Summe der Zahlen das arithmetische Mittel mal die Anzahl an Zahlen.

%%a+b+d+c+e = 95 \cdot 5%%
%%a+b+e = 3 \cdot 100%%

Ziehe die Summe von a, b und e von der Summe aller fünf Zahlen ab, um die Summe von c und d zu erhalten.

%%5\cdot95-3\cdot100%%

%%=475-300=175%%

Teile durch durch 2 (die Anzahl der Zahlen), um das arithmetische Mittel von c und d zu erhalten.

%%175:2=87,5%%

Das arithmetische Mittel von c und d ist also 87,5.

Franz gibt jede Woche für verschiedene Dinge Geld aus.

Letzte Woche gab er am Montag 5€ aus, am Dienstag 2€, am Mittwoch 3€, am Donnerstag 11€, am Freitag 9€ und am Wochenende nichts.

Wie viel gab Franz letzte Woche durchschnittlich pro Tag aus?

Bei einer Schulklasse kamen beim letzten Mathetest folgende Ergebnisse heraus:

5 Einser, 6 Zweier, 12 Dreier, 4 Vierer und 3 Fünfer.

Wie hoch ist der Notendurchschnitt der Klasse?

Wie hoch ist der Durchschnitt, wenn man den Nachschreiber dazunimmt, der eine 2 bekam?

Summiere alle Noten der Schüler und teile dann durch die Anzahl an geschriebenen Noten, um den Durchschnitt zu erhalten:

%%\dfrac{5\cdot1+6\cdot2+12\cdot3+4\cdot4+3\cdot5}{5+6+12+4+3}=\dfrac{84}{30}=2\dfrac{24}{30}=2\dfrac8{10}=2,8%%

Der Durchschnitt in der Klasse beträgt ohne den Nachschreiber also %%2,8%%.

Kommt ein Schüler hinzu, dann hast du:

%%\dfrac{84+2}{30+1}=\dfrac{86}{31}=2\dfrac{24}{31}\approx2,77%%

Bezieht man den Nachschreiber in die Berechnen ein, so ist die Durchschnittsnote in der Klasse also %%2,77%%.

Bei einer Klassenarbeit in der 7c (30 Schüler) erhielt die Klasse im Durchschnitt die Note 2,7. Außerdem ist bekannt, dass es 4 Mal die Note 5 und einmal die Note 6 gab. Ergänze zwei mögliche Verteilungen für die Noten 1-4.

Durchschnitt

Für diese Aufgabe benötigst du Wissen über den Durchschnitt.

Stelle zunächst die gegebenen Werte in einer Tabelle dar:

Note

1

2

3

4

5

6

Anzahl

4

1

Im Durchschnitt haben die Schüler die Note 2,7 erzielt. Das bedeutet, dass die Gleichung $$\frac{1 \cdot\text{Anzahl Note 1} + 2\cdot \text{Anzahl Note 2} + …+ 6\cdot\text{Anzahl Note 6}}{30}= 2,7$$ gilt.

Forme diese Gleichung um, damit du herausfindest, wie groß die Summe im Zähler ist. Diese Summe kann dir helfen, die Aufteilung der restlichen vier Noten zu bestimmen.

%%1 \cdot\text{Anzahl Note 1} + …+ 6\cdot\text{Anzahl Note 6}= 2,7 \cdot 30%%

%%1 \cdot\text{Anzahl Note 1} + …+ 6\cdot\text{Anzahl Note 6}= 81%%

Ziel ist es für die Noten 1- 4 passende Anzahlen zu finden, damit die Gleichung erfüllt bleibt. Außerdem weißt du, dass 30 Schüler teilgenommen haben, weswegen bei der zweiten Zeile der Tabelle die Summe 30 sein muss.

Jetzt können wir knobeln:

Von den 30 Schülern haben bereits 5 Schüler die Note 5 oder 6 bekommen, deshalb bleiben nur noch 25 Schüler übrig.

Von den 81 kann man auch bereits die Summanden für die Noten 5 und 6 abziehen.

%%81-(4\cdot 5 + 1 \cdot 6) =%%

Vereinfache.

%%81-(20 + 6) =%%
%%81-26=%%
%%55%%

Unser Ziel ist es, geeignete Anzahlen zu finden, damit mit 25 Schülern die Summe 55 erreicht werden kann. Hierfür gibt es mehrere Lösungen.

1. Möglichkeit

Nimm zum Beispiel zuerst an, die Schulaufgabe ist sehr schlecht ausgefallen und es gibt zehn Mal die Note 4.

  • übrig bleiben noch 15 Schüler.
  • Von unseren 55 können wir %%4\cdot 10%%, also 40 abziehen und es bleibt 15.

Die 15 verbleibenden Schüler müssen alle die Note 1 haben, denn nur dann erhält man:

%%15\cdot 1 + 0\cdot 2 + 0 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1\cdot 6=%%
%%15+40+20+6= 81%%

und damit ergibt sich der Durchschnitt %%81:30 = 2,7%%.

2. Möglichkeit

Geh nun davon aus, dass die Schulaufgabe besser ausgefallen ist und es zum Beispiel zehn mal die Note 2 gibt.

  • erneut bleiben wieder 15 Schüler übrig.
  • Von den 55 ziehst du diesmal %%2 \cdot 10%%, also 20 abziehen. Es bleiben 35.

Bei den verbleibenden 15 Schülern könnten nun zum Beispiel noch zehn Schüler die Note 3 und 5 Schüler die Note 1 haben.
Es gilt wie oben:

%%5\cdot 1 + 10\cdot 2 + 10 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1\cdot 6=81%%

Und damit erneut der Durchschnitt 2,7.

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