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B 2.0 Das Rechteck ABCDABCD ist die Grundfläche der Pyramide ABCDSABCDS. Der Punkt EE ist der Mittelpunkt der Strecke [AD][AD], der Punkt FF ist der Mittelpunkt der Strecke [BC][BC]. Die Spitze SS liegt senkrecht über dem Punkt EE.

Es gilt: AB=6,5cm;  AD=8cm;  ES=5,5cm\overline{AB}=6{,}5 \, \text{cm}; \; \overline{AD}=8 \, \text{cm}; \; \overline{ES}=5{,}5 \, \text{cm}

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDSABCDS, wobei [EF][EF] auf der Schrägbildachse und der Punkt EE links vom Punkt FF liegen soll.

Für die Zeichnung: q=12;  ω=45q = \dfrac{1}{2}; \; \omega = 45^{\circ}

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [FS][FS] sowie das Maß des Winkels SFESFE.

[Ergebnisse:  FS=8,51cm;  SFE=40,24]\left[ \text{Ergebnisse:}\; \overline{FS}=8{,}51 \, \text{cm}; \; \sphericalangle SFE = 40{,}24 ^{\circ} \right]

(4 Punkte)

B 2.2 Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [FS][FS] und bilden zusammen mit dem Punkt G[EF]G \in [EF] Winkel FGPnFGP_n mit dem Maß φ]0;118,61[\varphi \in ]0^{\circ}; 118{,}61^{\circ}[. Es gilt: EG=3cm\overline{EG}=3 \, \text{cm}.

Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden BCGPnBCGP_n mit der Grundfläche BCGBCG und den Höhen [PnLn][P_nL_n] mit Ln[EF]L_n \in [EF]. Zeichnen Sie die Pyramide BCGP1BCGP_1 für φ=110\varphi = 110^{\circ} und die zugehörige Höhe [P1L1][P_1L_1] in das Schrägbild zu B2.1B2.1 ein.

(2 Punkte)

B 2.3 Begründen Sie die obere Intervallgrenze für φ\varphi.

(2 Punkte)

B 2.4 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [GPn][GP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

GPn(φ)=2,26sin(φ+40,24)\overline{GP_n}(\varphi) = \dfrac{2{,}26}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ})}

(2 Punkte)

B 2.5 Berechnen Sie das Volumen VV der Pyramiden BCGPnBCGP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.

[Ergebnis:  V(φ)=10,55sinφsin(φ+40,24cm3]\left[ \text{Ergebnis:} \; V(\varphi) = \dfrac{10{,}55 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 40{,}24^{\circ}} \, \text{cm}^3 \right]

(3 Punkte)

B 2.6 Das Dreieck GFP2GFP_2 ist gleichschenklig mit der Basis [FP2][FP_2]. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide BCGP2BCGP_2 am Volumen der Pyramide ABCDSABCDS.

(4 Punkte)