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13Punkte auf der Geraden

Um Punkte zu erhalten, die auf der Geraden liegen, musst du Werte für λ\lambda einsetzen. So kannst du mit dem passenden Wert jeden Punkt auf der Gerade erhalten.

Wenn du überprüfen willst, ob ein Punkt auf der Geraden liegt musst du zunächst den Punkt mit der Geradengleichung gleichsetzen. Anschließend stellst du ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach λ\lambda auf. Kommt bei jeder Gleichung für λ\lambda der gleiche Wert raus, liegt der Punkt auf der Geraden. In den anderen Fällen liegt er nicht auf der Geraden.

Verständlicher wird dies, wenn man sich ein Beispiel ansieht:

Beispiel

Gegeben ist die Geradengleichung:

g:x⃗=(25−3)+λ⋅(5−6−9)g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}

Es soll nun geprüft werden, ob die Punkte a) (7∣−1∣−12)(7|-1|-12) und b) (4∣10∣−6)(4|10|-6) auf der Geraden liegen.

Gleichungssystem aufstellen

I7=2+5⋅λII−1=5−6⋅λIII−12=−3−9⋅λ\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &7&=&2+5\cdot\lambda \\&\mathrm{II} &-1&=&5-6\cdot\lambda \\&\mathrm{III} &-12&=&-3-9\cdot\lambda\end{array}

Werte von λ\lambda berechnen.

Iλ=1IIλ=1IIIλ=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &\lambda&=&1 \\&\mathrm{II} &\lambda&=&1\\&\mathrm{III} &\lambda&=&1\end{array}

In allen Gleichungen hat λ\lambda den gleichen Wert der Punkt liegt also auf der Geraden.

Punkt mit Geradengleichung gleichsetzen.

b)(410−6)=(25−3)+λ⋅(5−6−9)\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}

Gleichungssystem aufstellen.

\I4=2+5⋅λII10=5−6⋅λIII−6=−3−9⋅λ\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &4&=&2+5\cdot\lambda \\&\mathrm{II} &10&=&5-6\cdot\lambda \\&\mathrm{III} &-6&=&-3-9\cdot\lambda\end{array}

Werte von λ\lambda berechnen.

Iλ=25IIλ=−56IIIλ=39\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{I} &\lambda&=&\frac25 \\&\mathrm{II} &\lambda&=&-\frac56\\&\mathrm{III} &\lambda&=&\frac39\end{array}

In den Gleichungen nimmt λ\lambda unterschiedliche Werte an. Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden.



Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?