B 1.0 Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-3|0)$ und $Q(5|0)$. Sie hat eine Gleichung der Form $y=a\cdot x^2+ 0{,}5x+c$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$, $c \in \mathbb{R}$.

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0{,}1x -2$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

B 1.1 Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $a$ und $c$, dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75$ hat. Zeichnen Sie sodann die Gerade $g$ sowie die Parabel $p$ für $x \in [-4;7]$ in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$; $-5 \leqq x \leqq 8; \; -5 \leqq y \leqq 5$

(4 Punkte)

B 1.2 Punkte $A_n(x|-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n(x|-0{,}1x-2)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$. Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x \in ]-3{,}74; 6{,}14[$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$.

Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$. Dabei ist die Abszisse $x$ der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.

Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu $B1.1$ ein.

(2 Punkte)

B 1.3 Berechnen Sie die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

[Ergebnis: $\overline{A_nB_n}(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75)$]

(2 Punkte)

B 1.4 Überprüfen Sie rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt von $13 \, \text{FE}$ gibt.

(3 Punkte)

B 1.5 Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$. Berechnen Sie die $x$-Koordinate der Punkte $A_3$ und $A_4$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [Teilergebnis: $\overline{B_nC_n}=2{,}01 \, \text{LE}$]

(4 Punkte)

B 1.6 Begründen Sie, dass es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.

(2 Punkte)