a)

(5 BE)

Zeigen Sie, dass $x=e^{-1}$ und $x=e$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ von $G_f$.

(zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{4}{x} \cdot lnx)$

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass $G_f$ genau einen Wendepunkt $W$ besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$.

(zur Kontrolle: x-Koordinate von $W$: e)

c)

(6 BE)

Begründen Sie, dass $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)=-\infty$ und $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0$ gilt. Geben Sie $f'(0{,}5)$ und $f'(10)$ auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion $f'$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

d)

(3 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte $c\in\, ]0;6]$ gibt, für die gilt:$\displaystyle \int_{e^{-1}}^cf(x)dx=0$.

e)

(2 BE)

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von $h$ an.

f)

(5 BE)

Im IV. Quadranten schließt $G_f$ zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=1$ und $x=2$ ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa $1{,}623$ beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion $h$ als Näherung für die Funktion $f$ verwendet wird.