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Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl BB der Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit tt (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgeführt.)

B(t)=B0ertB\left(t\right)=B_0\cdot e^{r\cdot t} , wobei gilt:  t Rt\ \in\mathbb{R}  und  t0\mathrm t\geq0  sowie  rRr\in\mathbb{R}  und  r>0\mathrm r>0 .

Dabei gibt  B0{\mathrm B}_0  die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt  t=0\mathrm t=0  am 1.1.1800 an und rr ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung. Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa 3,73{,}7 Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa 9,59{,}5 Milliarden Menschen weltweit erwartet.

  1. Zeigen Sie, dass für die Werte  B0{\mathrm B}_0  und  r\mathrm r  gilt:  B00.9109{\mathrm B}_0\approx0.9\cdot10^9  und  r9,43103r \approx 9{,}43\cdot 10^{-3} .

  2. Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050 mit einem geeigneten Maßstab grafisch dar.

  3. Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt t das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t , für das folgende Bedingung gilt:  B(t+Δt)=2B(t)B(t+\Delta t)=2\cdot B(t) Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall  Δt\Delta\mathrm t  unabhängig vom Zeitpunkt tt ist, und berechnen Sie  Δt\Delta\mathrm t  auf eine Nachkommastelle gerundet.

  4. Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}, an dem die Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel

    N(t)=2,5107t+2,0109N(t)=2{,}5\cdot 10^7\cdot t+2{,}0\cdot 10^9  mit  tR\mathrm t\in\mathbb{R}  und  t0\mathrm t\geq0  (tt in Jahren) nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung B(t)\mathrm B(\mathrm t). (Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.) Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt  tTG{\mathrm t}_\mathrm{TG}. Benutzen Sie als Startwert t0=210{\mathrm t}_0=210, führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.