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9Definitionsbereich von Logarithmusfunktionen

Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung mit der Funktionsvorschrift

f:R+R,xlogb(x)f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto\log_b(x), wobei bR+b\in\mathbb{R}^+ und b1b\neq 1 gilt.

bb heißt Basis des Logarithmus und xx das Argument des Logarithmus.

Das Argument kann auch ein Term beliebiger Form sein.

Bei Logarithmusfunktionen muss man darauf achten, dass das Argument stets positiv wird.

Beispiel

f(x)=log5(x21)f(x)=\mathrm{log}_5(x^2-1)

Prüfe, wann das Argument x21x^2-1 kleiner oder gleich Null wird.

  x210+1x21  x1Betrag auflo¨senx1 oder x11x1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;&x^2-1\leq0&|+1\\\Leftrightarrow &x^2\leq1&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &|x|\leq1&\text{Betrag auflösen}\\ \Leftrightarrow &x\leq1\text{ oder }x\geq-1&\\ \Leftrightarrow &-1\leq x\leq1\end{array}

  \;

Wichtig bei der Umformung ist, den Betrag nicht zu vergessen!

Wenn xx zwischen 1-1 und 11 liegt, wird x21x^2-1 kleiner oder gleich 00. Das Intervall von 1-1 bis 11 muss man also ausschließen.

D=R\[1;1]\Rightarrow \mathbb D=\mathbb R\backslash[-1;1]

Logarithmusfunktion

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