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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x2ln(x1)f:x\mapsto2-\ln(x-1) mit maximalem Definitionsbereich DfD_f. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    a)

    (3 BE)

    Zeigen Sie, dass Df=]1;+[D_f=]1;+\infty[ ist und geben Sie das Verhalten von ff an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

    b)

    (2 BE)

    Berechnen Sie die Nullstelle von ff.

    c)

    (5 BE)

    Beschreiben Sie, wie GfG_f schrittweise aus dem Graphen der in R+\mathbb{R}^+ definierten Funktion xlnxx\mapsto \ln\,x\,hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von GfG_f.

    d)

    (4 BE)

    Zeigen Sie, dass F:x3x(x1)ln(x1)F:x\mapsto3x-(x-1)\cdot \ln(x-1)\, mit Definitionsbereich DF=]1;+[D_F =]1;+\infty[ eine Stammfunktion von ff ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von ff, die bei x=2x=2 eine Nullstelle hat.

  2. 2

    Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

    Hinderniselement

    Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Achse die Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich 2x2-2\leq x\leq 2. Die Profillinie der Abfahrt wird für 2x82\leq x \leq 8 durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion ff beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

    Modell Skate-Park

    a)

    (2 BE)

    Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts f(2)f(2) im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion qq an, deren Graph GqG_q für 8x2-8 \leq x \leq -2 die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.

    b)

    (5 BE)

    Berechnen Sie die Stelle xmx_m im Intervall [2;8][2;8], an der die lokale Änderungsrate von ff gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

    c)

    (3 BE)

    Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert xmx_m könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

    d)

    (2 BE)

    Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels α\alpha, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).

    e)

    (3 BE)

    Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen GfG_f und der x-Achse im Bereich 2x62 \leq x \leq 6 sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion FF, wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

  3. 3

    Betrachtet wird die Schar der in R\mathrm{R} definierten Funktionen

    und den zugehörigen Graphen GkG_k. Für jedes kk besitzt der Graph GkG_k genau einen Wendepunkt WkW_k.

    a)

    (2 BE)

    Geben Sie das Verhalten von gkg_k an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von kk an.

    b)

    (3 BE)

    Bestimmen Sie die x-Koordinate von WkW_k in Abhängigkeit von kk.

    \quad\quad\quad\quad(zur Kontrolle: x=1k1)x= -\frac{1}{k}-1)

    c)

    (4 BE)

    Bestimmen Sie den Wert von kk so, dass der zugehörige Wendepunkt WkW_k auf der y-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt WkW_k im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d.h. die Tangente an GkG_k im Punkt WkW_k, die Steigung 99 hat.

    d)

    (2 BE)

    Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von kk zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.

    Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der y-Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und tragen Sie die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.


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