Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.
Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Achse die Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich . Die Profillinie der Abfahrt wird für durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
a)
(2 BE)
Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion an, deren Graph für die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.
b)
(5 BE)
Berechnen Sie die Stelle im Intervall , an der die lokale Änderungsrate von gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.
c)
(3 BE)
Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.
d)
(2 BE)
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels , den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).
e)
(3 BE)
Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen und der x-Achse im Bereich sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion , wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.
